[TS+] Theorème de Rolle

**mx6** · 09/07/2009, 22h04

Bonsoir les amis,

Voici le lien de l'exercice que j'essaye de faire : http://www.mathsland.com/Forum/Uploa...-HAZM-DL-2.pdf

Alors pour la première question, je sais comment démontrer ce théorème.

On remarque que $\text{[math]}$ , donc d'après le TDR, il existe au moins un réel $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

Mais je ne vois pas comment utiliser le théorème pour aboutir à la dérivée seconde. Ils disent que le $\text{[math]}$ est choisi de manière que $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est fixé là ? Et quand je dérive, je fais comme ci c'était une constante ?

Voilà

**Romain-des-Bois** · 09/07/2009, 22h23

Bonsoir,

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(je donne un peu trop vite la solution peut-être)

**Romain-des-Bois** · 09/07/2009, 22h29

J'ai pu ajouter le spoiler à temps

La réponse est dans le message précédent, mais ce n'est pas très... pédagogique.

La fonction $\text{[math]}$ est une fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est fixé dès le début de l'exo.

Tu as $\text{[math]}$ mais tu as encore autre chose de remarquable que tu peux utiliser.

Indice :

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**mx6** · 09/07/2009, 22h33

Oki merci beaucoup Romain des Bois, malheureusement j'ai vu ton premier message avant que tu fasses le spoiler ! Je pense que cet exo est un classique des 1 ères années

Je vais essayer de faire la suite tout de suite !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Romain-des-Bois** · 09/07/2009, 22h37

Désolé pour le spoiler

Cet exercice et celui qui suit (Rolle généralisé) sont effectivement très classiques en sup.

**mx6** · 09/07/2009, 22h38

La question suivant est immédiate :

On a $\text{[math]}$ .

Et comme $\text{[math]}$ . Le résultat s'ensuit.

**Romain-des-Bois** · 09/07/2009, 22h44

Parfait

**mx6** · 09/07/2009, 22h52

3 a)

On a bien $\text{[math]}$ . (Condition vérifiée: deux points ont la même image par $\text{[math]}$ ).

Maintenant il faut prouvé que $\text{[math]}$ est dérivable.

On note $\text{[math]}$ . Cette fonction est bien dérivable en $\text{[math]}$ . Et comme $\text{[math]}$ l'est aussi sur $\text{[math]}$ . On déduit que par composition $\text{[math]}$ est dérivable sur $\text{[math]}$ .
On a bien aussi : $\text{[math]}$

Par suite $\text{[math]}$ est dérivable sur $\text{[math]}$ .

Les deux conditions du TDR sont donc vérifiées.

Est ce bon ? =)

**mx6** · 09/07/2009, 23h01

Pour la b)

Pour tout $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ . Et pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

**mx6** · 09/07/2009, 23h47

Pour la conclusion :

D'après le TDR, il existe donc un réel $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ .

Posons $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ varie entre $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

Par suite il existe $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ .

Je fais la suite demain, le temps que je trouve une correction si vous voulez bien !

Une question : pourquoi on appelle ça le TDR généralisé ?

**Romain-des-Bois** · 10/07/2009, 09h29

Envoyé par mx6

Une question : pourquoi on appelle ça le TDR généralisé ?

Le théorème de Rolle, on a un intervalle $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Le théorème de Rolle généralisé c'est pareil... sauf qu'une des deux extrêmités de l'intervalle est $\text{[math]}$ .

**mx6** · 10/07/2009, 10h48

Bonjour,

J'avais considéré que $\text{[math]}$ ce qui est faux. On a bien : $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ n'appartient pas à $\text{[math]}$ . Comment donc justifier la dérivabilité ?

**Romain-des-Bois** · 10/07/2009, 11h03

Avec l'application $\text{[math]}$ que tu as définie, (même) la composition n'est pas légitime...

**mx6** · 10/07/2009, 11h07

Ca veut dire quoi $\text{[math]}$ ? Sinon tu peux encore détaillé ta réponse, car je n'ai pas bien compris. J'ai utilisé $\text{[math]}$ pour calculer la dérivée.

**mx6** · 10/07/2009, 11h44

Je veux justifier la dérivabilité en $\text{[math]}$ , en montrant qu'elle est continue en $\text{[math]}$ . Mais je ne vois pas comment faire !

Peut être je pose $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ ?

**Romain-des-Bois** · 10/07/2009, 12h33

Envoyé par mx6

Ca veut dire quoi $\text{[math]}$ ? Sinon tu peux encore détaillé ta réponse, car je n'ai pas bien compris. J'ai utilisé $\text{[math]}$ pour calculer la dérivée.

Avant de regarder la dérivabilité, il faut regarder si les applications sont bien définies

tu as posé :
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ...

or $\text{[math]}$ est définie sur $\text{[math]}$ ... Il y a comme un problème

(on ne peut pas dans ces conditions parler de $\text{[math]}$ )

Je reprends le début du problème en détail :
- regarder que $\text{[math]}$ est bien définie
- vérifier la continuité sur $\text{[math]}$ : la seule difficulté est de montrer que $\text{[math]}$

Cliquez pour afficher

- vérifier la dérivabilité de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$

Cliquez pour afficher

**Romain-des-Bois** · 10/07/2009, 12h37

Envoyé par mx6

Je veux justifier la dérivabilité en $\text{[math]}$ , en montrant qu'elle est continue en $\text{[math]}$ .

Montrer qu'une application est continue en un point ne montre en aucun cas qu'elle est dérivable en ce point.

Pour appliquer le théorème de Rolle, on n'a pas besoin de la dérivabilité sur les bords.

**mx6** · 10/07/2009, 18h03

Oki merci, mais le truc de la limite m'a l'air bizarre , car pour $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ . Comment démontres tu que $\text{[math]}$ ?

**Romain-des-Bois** · 10/07/2009, 18h10

Envoyé par mx6

Oki merci, mais le truc de la limite m'a l'air bizarre , car pour $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ . Comment démontres tu que $\text{[math]}$ ?

Bah... y a rien de bizarre

$\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ (là je détaille !)
donc, comme $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ .

EDIT : tout ceci avec $\text{[math]}$

**mx6** · 10/07/2009, 18h33

Ok toujours pas très convaincu mais bon

**Romain-des-Bois** · 10/07/2009, 19h03

Envoyé par mx6

Ok toujours pas très convaincu mais bon

bah, là, je comprends pas ce qui te pose problème...

tu as $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$

soit $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ ,

alors $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ . Il n'y a pas plus...

Peut-être que d'écrire ceci va t'aider :
$\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$

**mx6** · 10/07/2009, 19h30

Ce qui me pose problème, c'est qu'on a f(a+u(x)) , donc limite en +infini, c'est f(a+1) !

**Romain-des-Bois** · 10/07/2009, 21h14

Envoyé par mx6

Ce qui me pose problème, c'est qu'on a f(a+u(x)) , donc limite en +infini, c'est f(a+1) !

Mais on ne fait pas tendre $\text{[math]}$ vers l'infini. On fait tendre $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ .

Quand $\text{[math]}$ , vers quoi tend $\text{[math]}$ ?

**mx6** · 10/07/2009, 22h00

Je propose de changer les variables pour ne pas corrompre.

On a donc $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ . Car pour moi on a $\text{[math]}$ . Ce que je comprend pas, c'est que toi tu fais disparaitre le $\text{[math]}$ . Tu considère que $\text{[math]}$ . Et je suis bien d'accord pour ta limite, c'est bien homogène. Mais pourquoi le $\text{[math]}$ disparait ?

**Romain-des-Bois** · 11/07/2009, 12h30

Envoyé par mx6

On a donc $\text{[math]}$ .

Oui, mais ce n'est pas ça qu'on fait ! C'est vers $\text{[math]}$ qu'il faut faire tendre $\text{[math]}$ ...

Reprends les choses depuis le début :

tu cherches la limite de $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ ... avec $\text{[math]}$ (si je me souviens bien)

invitefa636c3d · 11/07/2009, 13h08

bonjour,

Il s'agit là d'un problème de composition de limites et il existe un théorème qui répond à la question: le thm de composition des limites, note que c'est là qu'on utilise l'hypothese sur la limite de f en l'infini. je te conseille de donner un nom à la fonction x--->a+x/(1-x) et de regarder tranquilement vers quoi tend psi quand x tend vers 1

rq:ta fonction u tend vers -1 en l'infini mais ce n'est qu'une remarque au passage...

Comme te l'a signalé Romain des Bois , tu prends le problème dans le mauvais sens, ta fonction psi est définie sur [0,1] ,en fait elle est construite de manière à être continue en 1( on parle de prolongement par continuité dans ces cas là mais ce n'est pas le propos ici) et ainsi satisfaire les hypothèses du thm de Rolle "classique"

La dérivabilité sur ]0,1[ ne pose pas problème et il ne reste plus qu'à appliquer le thm de dérivation des fonctions composées pour conclure en invoquant le thm de Rolle classique

**mx6** · 11/07/2009, 21h24

Oki merci beaucoup, j'ai enfin compris. Je ferais la suite bientôt !

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