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Dérivée et tangente (Rolle).



  1. #1
    Ledescat

    Dérivée et tangente (Rolle).


    ------

    Bonjour, j'ai un exo sur lequel je bloque depuis hier; l'énoncé est clair, le dessin parle de lui-même...mais ça m'agace de ne pas trouver!
    L'énoncé est:
    Soit f une fonction de classe C1 telle que f(0)=f'(0)=0 et telle qu'il existe a>0 avec f(a)=0.
    Montrer qu'il existe un point M de la courbe tel que sa tangente passe par l'origine.

    Bon déjà il y a le point 0 ^^ mais bon, guère intéressant...
    Alors,en premier lieu, sachant que f(0)=f(a)=0, j'ai utilisé Rolle en disant qu'il existait b entre 0 et a tel que f'(b)=0

    Ensuite, une tangente en X0 passant par l'origine ça correspond à f'(X0)=f(X0)
    donc je me suis dit qu'en étudiant h(x)=f'(x)-f(x) je trouverais bien un point où h s'annule... Le problème c'est que je bloque littéralement, et je ne vois pas vraiment comment exploiter le fait que f'(0)=0 .
    Merci de votre aide à l'avance

    -----
    Cogito ergo sum.

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  3. #2
    homotopie

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    Bonjour,
    je serais toi j'étudierais

  4. #3
    Ledescat

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    Merci
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    Ledescat

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    en fait je ne vois pas très bien à quoi nous amène d'étudier f(x)exp(-x) ... lol
    Cogito ergo sum.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    1) elle s'annule ssi f s'annule
    2) sa dérivée s'annule ssi f'-f s'annule
    Un "coup de Rolle" et c'est fini (même pas besoin de f'(0)=0)

  8. #6
    Ledescat

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    en fait je n'avais pas encore eu le temps de poser le f(x)exp(-x) sur le papier et c'est vrai que ca devient tout de suite evident.
    Je dis donc:
    on pose g(x)=f(x)exp(-x)
    donc g'(x)=exp(-x)(f'(x)-f(x))
    mais g(0)=0 et g(a)=0
    donc il existe x0 tq g'(x)=0 <=> f'(x)-f(x)=0
    C'est bizarre de ne pas utiliser le f'(0)=0... surtout que le fait de ne pas imposer sur un dessin f'(0)=0 nous montre qu'on peut pas tirer une telle tangente...

    en tout cas je te remercie beaucoup homotopie, il me manquait juste ce ptit coup de pouce qui ne m'a pas sauté aux yeux...
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    homotopie

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Ensuite, une tangente en X0 passant par l'origine ça correspond à f'(X0)=f(X0)
    Finalement...
    Je crois que l'on a plutot f'(X0)=f(X0)/X0
    Résolution du même type. quant on veutfaire apparaître f'(x)-f(x) on utilise f(x)e^(-x) quant on veut faire apparître f'(x)-f(x)/x on utilise... (solution évidente soit résolution d'une équation qui permet d'aboutir mais un peu lourde ici)
    Et cette fois f'(0)=0 est utile !

  11. #8
    Ledescat

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    Oula oui bien-sûr, à trop penser à ce que je vais faire avec Rolle, je me plante sur les calculs élémentaires...
    Je suis désolé de t'avoir induit en erreur!
    f'(x)-f(x)/x s'apparente à un nombre dérivé si on magouille un peu je pense; je vais m'y pencher.
    merci.
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    Ledescat

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    en fait non, je pense à un g(x)=f(x)/x
    mais cette division par x risque de nous embêter en zéro non
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    Ledescat

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    Bon ,alors je dis ce que j'ai écrit...mais j'ai peur de faire une embrouille, et en analyse ca pardonne pas.

    j'étudie g(x)=f(x)/x
    donc g'(x)= f'(x)-f(x)/x

    or g(a)=0
    et (c'est là l'embrouille je pense) lim g(x) (en 0)= lim (en 0) f(x)/x= f'(x)=0

    et là dans ce cas là,je sais pas si on a droit d'utiliser Rolle... si oui c'est gagné, mais je ne suis vraiment pas sûr.
    Cogito ergo sum.

  14. #11
    homotopie

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    et là dans ce cas là,je sais pas si on a droit d'utiliser Rolle... si oui c'est gagné, mais je ne suis vraiment pas sûr.
    Oui on a le droit
    Hyp :
    1) f continue sur [a,b] (donc intervalle fermé)
    2) f dérivable sur ]a,b[ (intervalle ouvert suffit, et dérivable suffit pas besoin de continuité de f')
    Conclusion
    il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=0.
    Rappel très rapide de la preuve :
    f admet un maximum ou un minimum sur [a,b] (besoin de compacité pour cela) que l'on peut toujours trouver c sur ]a,b[ (c'est assez trivial). f(c) max ou min =>f(c')=0.
    Toujours utile de se rappeler les grandes lignes de la preuve.

    Juste un détail de rédaction g(x)=f(x)/x pour x non nul et g(0)=0 comme déf de g.

  15. #12
    Ledescat

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    Oui, je suis d'accord avec toi. Je te remercie beaucoup de ton aide et de tes indications...c'est vraiment bien qu'ici on ne nous crache pas les réponses, j'avais besoin de réfléchir un petit peu hihi
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    Ledescat

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    Arf, juste une petite derniere question
    on a par exemple f'(a) <0
    ce qui veut dire lim (en a) (f(x)-f(a))/(x-a) <0
    si on se place sur ]-infini;a[ par exemple, comme x-a<0 est-ce qu'on a le droit de dire qu'il existe un voisinage de a de la forme [a - epsilone;a] tq f(x)>f(a) ?
    Cogito ergo sum.

  18. #14
    homotopie

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Arf, juste une petite derniere question
    on a par exemple f'(a) <0
    ce qui veut dire lim (en a) (f(x)-f(a))/(x-a) <0
    si on se place sur ]-infini;a[ par exemple, comme x-a<0 est-ce qu'on a le droit de dire qu'il existe un voisinage de a de la forme [a - epsilone;a] tq f(x)>f(a) ?
    Oui (et non),
    oui, ton epsilon existe (je te laisse réfléchir à une preuve bien propre)
    (et non, il faut virer a de l'intervalle ou passer en inégalité large )

  19. #15
    Ledescat

    Re : Dérivée et tangente (Rolle).

    Vraiment merci beaucoup. J'ai demandé à mon prof aujourd'hui car je n'avais pas encore vu ta réponse; et si j'ai compris,il m'a dit que si f'(a)<0 on a le droit de dire qu'à gauche il y a un voisinage où la courbe est au dessus de f(a), mais qu'on n'avait pas le droit de dire qu'elle était décroissante dans un voisinage (l'inégalité marche pour a mais pas pour tout x pour tout y), ça je suis ok, ... jme doute que tu sais déjà tout ça, mais en l'écrivant ça me permet de voir si j'ai compris ou pas!
    Cogito ergo sum.

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