Dérivée de la fonction signe

[stefjm]

Bonjour,

J'ai rejoué un peu avec la fonction
.
Sa dérivée vaut de façon évidente si on se place dans les distributions.
Alpha est d'accord avec mes calculs. C'est rassurant!
https://www.wolframalpha.com/input?i=sgn%28x%29

En cherchant d'autres expression de cette fonction signe et en particulier en passant par l'exponentielle complexe, Alpha n'est plus d'accord avec moi et j'aimerais bien comprendre pourquoi.

L'expression vaut comme la fonction sgn, 1 sur R+*, -1 sur R-*, donc à priori encore la fonction signe.
Alpha donne pour la dérivée?
https://www.wolframalpha.com/input?i...n%28x%29%29%29

Et là, j'avoue que je ne comprends pas...

Une piste svp?
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[gg0]

Bonjour.

Rappel : Alpha fait du calcul formel. Il ne dérive pas à partir des valeurs, mais à partir de l'écriture.
Par contre, je ne sais ni pourquoi il donne une dérivée en distribution (choix des auteurs du logiciel utilisé, Mathématica à priori), ni vraiment pourquoi il donne ce résultat :


Je ne sais pas ce qu'il fait après, pourquoi le i disparaît et aussi la fonction f.

Il faudrait connaître la programmation du logiciel formel ...

Cordialement.

[MissJenny]

Et là, j'avoue que je ne comprends pas...

Une piste svp?

juste une piste, parce que c'est un domaine que je ne connais pas. Je subodore que comme tu as une fonction complexe, Alpha cherche une dérivée au sens des distributions en faisant intervenir une distribution sur les complexes, donc la distribution delta qui apparaît dans la formule n'est pas la même que la distribution delta sur les réels, en particulier son intégrale n'est peut-être pas 1 mais 1/2pi (en lien avec le théorème de Cauchy?)

[stefjm]

Bonjour,
Merci pour vos réponses.
Visiblement, la distribution de Dirac sur les complexes n'est pas définie de façon unique.

https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post4476486
https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post4475315

Tout (ou presque) est fait dans le tome I de Guelfand et Chilov (en particulier chapitre 2). est un objet parfaitement défini. En particulier, on a l'égalité :

montrant que est une fonctionnelle analytique ayant un pôle simple en avec un résidu égal à 1.

Cela expliquerait d'où sort le .

[A voir en vidéo sur Futura]