Formuler une équation de la n-ième dérivée

[Polyalg]

Bonjour,

Je cherche une équation de la dernière dérivée n-ième (la valeur constante) de la fonction f suivante en fonction de .



a, b, C sont des constantes ne dépendant pas de x.
n est un paramètre. Je cherche la dérivée n-ième de cette fonction.

Avez-vous une méthode pour formuler généralement cette équation en fonction de s'il-vous-plaît ?

Merci pour vos retours.
-----

[Médiat]

Bonjour,

L'idée de base est de calculer et on essaye de "voir" un schéma, que l'on essaye de démontrer par récurrence.

Je n'ai fait aucune démonstration, mais il me semble (sans aucune garantie) que



Formule qui ne marche pas pour , à cause du

[Polyalg]

Bonjour Mediat,

Ah, ben, je venais juste de penser à une démonstration par récurrence...mais j'ai un peu la frousse avec les puissances de .

Oui, voir un schéma dans la formule, c'est ma seule option aussi.

Oui, effectivement, c'est cette solution là que je confirme aussi parce que j'ai iteré jusqu'à

1

2

3

4


Merci, effectivement, j'ai oublié de préciser que .

Bravo !

Reste la démonstration par récurrence. Franchement, ce ne doit pas simple, à mon avis.

Meci encore Mediat

[Polyalg]

Alors, l'avant dernière a nécessairement un changement dans la formule parce qu'il y a un 2 qui vient en supplément. Elle devient lorsque :

5

Pas évident, d'être sûr.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Bonjour,

Pas besoin de récurrence, on peut y aller franco. La dérivée -ème d'un polynôme de degré est un polynôme de degré 1, de la forme . Poiur déterminer les constantes et , il suffit d'identifier les coefficients de et de dans .

[gg0]

En fait, il s'agit sans doute de la dérivée (n+1)-ième ("la dernière dérivée n-ième (la valeur constante)" emploi de n dans deux sens différents !!) qui est la dérivée du terme de plus haut degré du polynôme f(x).

Cordialement.

[Polyalg]

Oui gg0 ! je me suis mélangé les pinceaux, et je m'en suis rendu compte après, pour n, c'est un polynôme de degré n+1. Du coup, la dernière dérivée est bien la .

[Polyalg]

D'accord GBZM !
Effectivement, c'est un polynôme de degré 1 puisque les dérivées successives diminuent le degré de 1 à chaque fois.

Cependant, pour être sûr de l'équation...(à part les tests), est-ce qu'il ne faudrait pas faire la différence entre deux dérivées pour effectuer les calculs ?

[GBZM]

Alors la dérivée -ème est une constante, et cette constante se trouve immédiatement en regardant le coefficient de dans .

[Médiat]

D'abord, la question initiale portait sur la méthode, j'ai donc donné une méthode pour le calcul d la dériviée k-ième, (avec une erreur dans la réponse puisque j'ai oublié le a de l'énoncé, au moins l'ai-je oublié de façon consistante.


Sinon, si on se retreint à la question particulière, il suffit de remarquer que la dérivée n-ième de f st aussi la dérivée n-ième de et le résultat est trivial

[GBZM]

Oui, c'est ce que j'ai expliqué plus haut. Sauf que le demande n'est pas très claire entre dérivée n-ème et dérivée (n+1)-ème.

[Polyalg]

Merci pour toutes ces remarques. Donc, en bref, c'est qui m'intéresse !

@Médiat, pas grave pour le coefficient .

Merci à tous pour votre aide, je peux clore cette question. N'hésitez pas à commenter si besoin.

A bientôt, et merci encore pour votre aide !