Equivalence en +oo

[Alphasaft]

Bonjour,

Je bloque depuis un certain temps sur l'exercice suivant (on note p la fonction partie entière) :

Soit . On pose . Montrer que converge et donner sa limite.
Pour montrer la convergence ça ne devrait pas être un problème une fois qu'on connaît N(n), par contre en ce qui concerne l'expression de N(n) en elle-même, impossible de trouver.
J'ai réussi à montrer une minoration par , mais ce n'est franchement pas la chose la plus utile que j'ai faite de ma vie (surtout que c'est une minoration vraiment très large).
Si vous pouviez me donner un petit indice sur comment procéder...

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Peux-tu rappeler la définition de ? Ce n'est pas une notation classique.

Cordialement.

NB : la fonction "partie entière" se note classiquement E (comme Entière).

[Alphasaft]

Pardon si la notation n'était pas assez claire.
Par j'entends {1, 2, ..., n} (le N est en fait celui des entiers naturels)
Ah oui cela paraît logique... Merci !

[gg0]

J'avais pensé à cette signification de, mais j'avais mal lu la suite. Immédiatement, je n'ai pas d'idée.
Ta minoration est manifestement fausse : Pour n=20, p(n)=8 et pour n=57, p(n)=14. Il semble que tous les entiers entre 1 et sont dans l'ensemble (pour n assez grand) mais aussi d'autres, comme les parties entières de n/2, n/3, ..

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je n'ai pas le temps de creuser immédiatement, mais on pourrait faire la conjecture que tous les entiers inférieurs à sont dans l'ensemble, et aussi tous les quotients de n par ces nombres donneront des parties entières différentes.
En l'écrivant, ma conjecture me semble douteuse, mais je n'ai pas le temps de vérifier.

[Resartus]

Bonjour,
Une fois montré que les nombres entre 1 et E(racine(n)) sont tous présents, il faut maintenant s'intéresser à ce qui se passe pour les nombres E(n/k) avec k inférieur à racine(n)).
Il suffit de montrer qu'ils sont tous distincts et supérieurs à E(racine(n), sauf peut-être le premier...

[Alphasaft]

Ah oui... Je m'étais approché, vraiment de près, de cette conclusion, mais pas assez pour trouver (ce qui ne sert de facto pas à grand chose)

Là effectivement ça devient beaucoup plus simple, ça fournit à priori une formule (ou au moins un encadrement) que je vais m'empresser de calculer, et ça finit l'exercice.

Merci beaucoup !