Systèmes Polynomiaux

[ChakaSobek]

Bonjour à tous,

Je me permets de poster un message ici sur un sujet de Systèmes Polynomiaux sur lequel j'éprouve quelques difficultés.

Le sujet est le suivant :

Pour la question 1), je trouve les matrices suivantes :

S_x(f,g)= [y^2 +y 0 y+1] et S_y(f,g)= [x^2 x^2+1 1]
[ y+1 1 0 ] [x x+1 0]
[ 0 y+1 1] [0 x x+1]

Pour la 2)a), on remarque trivialement que (x,y)=(0,-1) est solution du système.

Pour la 2)b), j'ai tenté d'étudier les racines des polynômes res_x et res_y, je trouve y= (-3 ++/- sqrt(5))/2 et x= (-1 +/- sqrt(5))/2 donc le système admet des solutions rationnelles. Ceci me semble faux, pouvez-vous m'indiquer la démarche à suivre.

Pour la 2)c), en utilisant mes précédents résultats, le résultat demandé semble faux... d'où mon post.

Merci par avance de vos retours.

Chaka_
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[Resartus]

Bonjour,

Pas compris votre phrase : les deux solutions trouvées sont irrationnelles puisque il y a des radicaux. Auriez-vous confondu avec réelles?

La dernière semble avoir pour objectif de vous faire utiiiser le théorème de Bezout qui doit être dans votre cours

[GBZM]

Bonsoir,

Vu la deuxième équation, il n'y a aucune solution du système avec .

[Resartus]

Bonjour,
@GBZM, x=0 et y=-1 se réfèrait aux résultants, pas aux équations de départ (dont Chakasobek a bien donné les deux solutions irrationnelles)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Hum, Resartus, ça serait bien de lire ce qui est écrit :

Pour la 2)a), on remarque trivialement que (x,y)=(0,-1) est solution du système.

[GBZM]

Pour revenir à la question 2a : quels sont les coefficients dominants de et comme polynômes en ? comme polynômes en ?

[GBZM]

L'énoncé de la question 2c est petit bras : on voit sans peine que le système n'a que deux solutions complexes (qui sont toutes deux réelles).

[Resartus]

@GB2M
Tu pourrais peut-être t'appliquer ta propre suggestion : on est dans le question 2a où on parle des résultants...

Hum, Resartus, ça serait bien de lire ce qui est écrit :

[GBZM]

Resartus, tu fais semblant ou tu ne comprends vraiment pas ?

ChakaSobek, pour répondre à la question 2a où l'on demande de justifier que x=0 est racine du résultant par rapport à y sans calculer celui-ci, répond (c'est dans son premier message) :
"Pour la 2)a), on remarque trivialement que (x,y)=(0,-1) est solution du système."

C'est bien sûr complètement faux et je lui fais remarquer :
"Vu la deuxième équation, il n'y a aucune solution du système avec "

Là, tu as lu et compris ?

[ChakaSobek]

Bonjour,

Tout d'abord, je tiens à vous remercier.

Oui, effectivement ce n'est pas du tout vrai. Je voulais en effet répondre à la question a) et donc il s'agissait bien des résultants.

Pour la potentielle solution avec x=0, ceci est impossible car g(0,y) =1.

Pour la b), il s'agit donc bien de ce que j'ai écrit précédemment ?

Enfin, pour la c), suffit-il d'étudier les 2 équations des fonctions une fois en s'intéressant à x puis à y, de déduire les solutions possibles et de les retrancher entre elles ?

Bien cordialement

[GBZM]

Reprenons les choses dans l'ordre.

Pour la question 2a, je t'ai suggéré de t'intéresser aux coefficients dominants. Dans ton cours, au sujet de l'annulation des résultants, n'as-tu rien qui concerne les coefficients dominants ?

Pour la question 2b, tu as écrit " le système admet des solutions rationnelles.". C'est faux. Peut-être n'est-ce pas ce que tu voulais écrire ? Alors soit plus clair et plus précis.

Enfin pour 2c, tu peux soit utiliser les résultants, soit travailler directement avec le système d'équations pour le transformer. En tout cas je ne comprends pas grand chose à la phrase que tu as écrite. Ici aussi, efforce-toi d'être clair et précis ! En tout cas, le théorème de Bezout suggéré par Resartus ne me semble pas une bonne idée (sauf si on a au préalable transformé le système d'équations pour le rendre plus sympathique, mais alors en fait Bezout devient inutile).