Autant de nombre pairs que d'entiers naturels ?

[Minpolink]

Bonjour,

J'ai vu récemment qu'il y avait autant de nombre pairs et d'entiers naturels.

Pour montrer ça on fait une bijection entre et l'ensemble des nombres pairs.
Ca me fait bizarre de me dire que les 2 ensembles font la même taille. J'ai l'impression qu'il pourrait y avoir un problème si on multiplie par 2k chaque nombre de à l'infini...mais c'est surement parce que j'ai du mal comprendre comment c'est possible.

Et on sait que or 1 appartient à mais pas à .
Donc est plus grand que ?
Je me doute que c'est faux mais pourquoi ? La ligne du dessus ne prouve rien ?


J'ai aussi pensé à autre chose.
Prenons l'alphabet, c'est un ensemble fini, on peut l'écrire : = {A,B,C,D,E,F,...}
mais on peut aussi changer l'ordre en écrivant : = {Q,B,R,M,Z,K,...} tant qu'on y met tous les éléments c'est vrai

mais est ce que ça marche pour un ensemble infini ?
Par exemple = {0,1,2,3,4,5,6,...}
mais si on écrit sous cette forme : = {0,2,4,6,8,10...} mais vu que l'ensemble est infini tous les nombres impaires disparaissent et on finirait donc par dire que = ...
Dans ce cas je vois bien la bijection de dans ^^

Bon voilà merci pour les réponses et les corrections.
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[pm42]

C'est tout simple : tu utilises ton intuition qui s'applique aux ensembles finis à des ensembles infinis. Et ça ne marche pas.

On a défini que 2 ensembles "ont le même nombre d'éléments" s'il y a une bijection entre les 2. Cela marche très bien pour les ensembles finis et c'est conforme à "si on compte les éléments, on arrive au même nombre".
Et on utilise donc cette même définition pour les ensembles infinis puisqu'on ne peut pas simplement compter les éléments.
Ce qui donne ce résultat.

Et avec cette définition, on tombe sur ce résultat qui te choque mais pas forcément quand on y réfléchit ou qu'on regarde des exemples comme l'hôtel de Hilbert : https://fr.wikipedia.org/wiki/Hôtel_de_Hilbert.

Et en maths, des résultats "contre-intuitifs" quand on manipule les infinis, il y en a plein et certains sont largement pires.
Globalement comme en science, c'est normal : s'il suffisait de l'intuition, on n'aurait pas besoin de modéliser, de toute cette rigueur.
Sauf que notre intuition nous dit que la Terre est plate, que le Soleil tourne autour, que les continents ne bougent pas, ne permet pas de connaitre l'existence des bactéries, etc.

[Médiat]

Bonjour,

Le problème se cache dans la définition de "nombre d'éléments" d'un ensemble, cf. Prolégomènes à toute tentative future de définition du « nombre d’éléments » d’un ensemble. (futura-sciences.com)

[MissJenny]

Et on sait que or 1 appartient à mais pas à .
Donc est plus grand que ?
Je me doute que c'est faux mais pourquoi ?

Ca n'est pas faux, mais ici tu prends comme relation d'ordre la relation d'inclusion : E<=F ssi E est inclus dans F. Remarque que ce choix est même meilleur que la (fausse) relation d'ordre fondée sur le cardinal, puisque comme tu l'as remarqué, si on essaie de définir E<=F ssi card(E)<=card(F) on trouve facilement des ensembles E et F distincts tels que E<=F et F<=E ce qui n'est pas autorisé pour les relations d'ordre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JJacquelin]

Il y a de nombreuses façons de présenter (de manière ludique) ce genre de problème. En voici une autre :
" IL Y A PLUS DE NOMBRES QU'IL Y A DE NOMBRES ! "
De nos jours, même les enfants savent que l'on peut écrire les nombres entiers sur des bases
différentes. Par exemple, la base deux permet d'écrire tous les nombres entiers:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, ... etc.
L'écriture en base dix est encore plus commune:
0, 1, 2, 3, ..., 8, 9, 10, 11, 12, 13, ..., 98, 99, 100, 101, 102, 103, ... etc.
Et que trouve-t-on dans cette liste? Toute la liste précédente des nombres écrits en base deux!
C'est-à-dire TOUS les nombres entiers! Alors que viennent faire ici les nombres
superfétatoires : 2, 3, ..., 8, 9, 12, 13, ..., 98, 99, 102, 103, … etc. ? Quels sont ces intrus?
Extrait de : https://fr.scribd.com/doc/15493868/P...oxes-Sophismes . Une réponse est donnée page 14 de ce papier.

[Deedee81]

Salut,

Il faut en effet bien distinguer :

- Les ensembles (de nombre)
- Les représentations des nombres
- La cardinalité
- Le classement par inclusion
- Eventuellement même l'ordre (les ordinaux)

Toutes ces notions sont relativement simples à expliquer et à comprendre mais pour toute .... le passage aux ensembles infinis complique tout (exceptions, contre-intuitions, etc...).
Un exemple est donné par les ensembles non dénombrables. Souvent difficiles à "avaler" quand on à tendance à intuiter avec du fini ou à confondre nombres et représentation des nombres.

Et même là il y a des trucs fort contre-intuitifs. Par exemple :
La cardinalité du dénombrable (l'ensemble des entiers) c'est alelph0.
La cardinalité des réels est 2^alpeph0, strictement différent du précédent.
Hypothèse du continu : il n'existe pas de cardinal intermédiaire entre les deux. Hypothèses très bien définies car basées sur l'existence ou non de bijection.
L'ensemble des réels peut être construit rigoureusement et de manière univoque par plusieurs méthodes (suites de Cauchy, coupures de Dedekind...)

Et donc on pourrait croire qu'on peut démontrer ou réfuter à coup sûr l'hypothèse du continu. Forcément puisque tout est strictement défini. Il n'existe qu'un ensemble des réels et donc à travers les bijections la réponse doit être bien précise, n'est-ce pas ?
Hé bien non.... il a été démontré qu'on peut l'accepter (le cas général) ou le refuser, au choix, sans contradiction !!!! (c'est un indécidable de ZF).

Comme quoi l'intuition est la mort du mathématicien (enfin, en exagérant un peu, on peut développer une intuition basée sur des trucs qui dépassent le fini ou le quotidien)

[Médiat]

c'est un indécidable de ZF

cépafo, mais c'est surtout un indécidable de ZFC (les cardinaux sont plus difficiles à manier sans AC (il y a des ensembles sans cardinal))

[Deedee81]

cépafo, mais c'est surtout un indécidable de ZFC (les cardinaux sont plus difficiles à manier sans AC (il y a des ensembles sans cardinal))

Merci de la rectif, j'avais juste oublié le C

[GBZM]

Bonjour,

Par contre, il y a bien deux fois plus d'entiers que d'entiers pairs, au sens que la densité des entiers pairs dans est 1/2.
La densité d'une partie de est la limite pour tendant vers l'infini du nombre d'éléments de strictement plus petits que divisé par , si cette limite veut bien exister.

[Médiat]

il y a bien deux fois plus d'entiers que d'entiers pairs,

Cette expression est trompeuse, les entiers pairs sont deux fois moins dense que les entiers, dans les entiers.

Et la notion de densité ne résout pas tous les problèmes : densité de IN* = densité de IN et la densité des carrés parfaits (en nombre infini) est nulle.

[pm42]

Cette expression est trompeuse, les entiers pairs sont deux fois moins dense que les entiers, dans les entiers.

Oui et cela ne peut servir qu'à rendre les choses plus confuses pour le primo-posteur.
Il a posé une question simple, a eu des réponses et avant même qu'il ne soit revenu, introduire un concept différent et en tirer une conclusion trompeuse comme tu le fais remarquer n'est pas vraiment un sommet de pédagogie.

[GBZM]

Et la notion de densité ne résout pas tous les problèmes : densité de IN* = densité de IN et la densité des carrés parfaits (en nombre infini) est nulle.

Certes, ça ne résoud pas tous les problèmes. Mais les exemples montrent tout de même bien la pertinence de cette notion de densité : , c'est presque tout et les carrés parfaits ce n'est vraiment pas grand chose.
Cette notion de densité permet de formaliser mathématiquement l'intuition (pas si bête) que "parmi les entiers, la moitié sont pairs".

Il y a des résultats très intéressants sur cette densité et ses variantes. Voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_asymptotique.

Du point de vue du cardinal qui a été discuté jusqu'ici, toute partie infinie de a même cardinal que . C'est indispensable de le savoir, mais c'est un peut tristounet, non ?

Je ne trouve pas mauvais de réaliser qu'il y a plusieurs façons de comparer la "taille" des ensembles infinis. Le cardinal est une façon fondamentale, mais il y en a d'autres. Par exemple, l'intervalle unité a même cardinal que le pavé unité, mais c'est intéressant de voir comment mathématiser l'idée naturelle qu'il est tout de même "nettement plus petit".

[pm42]

Réponse qu'on peut résumer par "oui mais comme ça me fait plaisir et que sinon, je trouve ça tristounet, je vais parler de ce qui m'intéresse quitte à raconter n'mporte quoi parce que bon, les autres, le sujet du fil, je m'en fous un peu".

Prochaine étape : [0,2] est plus grand que [0,1] dans R avec la même "idée naturelle" sauf que justement, l'intérêt des maths, cela a été de dépassé cela pour montrer que justement ce n'était pas le cas.

[Médiat]

Ce qui m'a gêné, ce n'est pas que vous parliez de densité, mais que vous en parliez comme si c'était une façon de "compter" les éléments

il y a bien deux fois plus d'entiers que d'entiers pairs

.

Une façon de compter qui ne soit pas conservé par une bijection (donc inutilisable pour tout ensemble différent de IN), moi cela me dérange fondamentalement (ce n'est pas la densité qui me gêne, mais ce qu'on lui fait dire)

[gg0]

Bizarre, ton message #13, Pm42. La notion de densité est quand même une réponse mathématique sérieuse à la question initiale, et on ne peut pas reprocher à GBZM de "raconter n'mporte quo" (même s'il manque un i à "importe"). J'ai bien l'impression que c'est toi qui tiens à rester sur le sujet "cardinaux" et donc à restreindre les réponses à Minploink. Qui ne s'est d'ailleurs plus exprimé.

Cordialement.

[gg0]

Médiat, il y a une grande partie des mathématique qui ne compte pas, mais mesure. De ce point de vue, une fois vue la pauvreté de la notion de cardinal (*), on peut, à défaut de compter utilement, mesurer. Et traduire des intuitions que la notion de cardinal ne recouvre pas.

Cordialement.


(*) un étudiant qui va jusqu'à la licence en science n'aura jamais manipulé d'autres ensembles que des ensembles finis, ou des infinis de deux cardinaux, celui de l'ensemble des entiers et celui du continu.

[gg0]

Notons que personne n'a répondu à Minpolink sur la fin de son message :

Par exemple = {0,1,2,3,4,5,6,...}
mais si on écrit sous cette forme : = {0,2,4,6,8,10...} mais vu que l'ensemble est infini tous les nombres impaires disparaissent et on finirait donc par dire que = ...

qui pose un vrai problème aboutissant à l'idée que la réunion de deux ensembles dénombrables disjoints est encore dénombrable, et ouvrant éventuellement sur les ordinaux.

Minpolink, est-tu encore là ?

[pm42]

Bizarre, ton message #13, Pm42. La notion de densité est quand même une réponse mathématique sérieuse à la question initiale, et on ne peut pas reprocher à GBZM de "raconter n'mporte quo" (même s'il manque un i à "importe"). J'ai bien l'impression que c'est toi qui tiens à rester sur le sujet "cardinaux" et donc à restreindre les réponses à Minploink. Qui ne s'est d'ailleurs plus exprimé.

Je pense juste que quelqu'un qui vient de découvrir les cardinaux infinis et a du mal avec le concept de bijection n'a pas forcément besoin qu'on lui introduise sans qu'il le demande un nouveau concept comme celui de densité.
Et surtout pas qu'on fasse du "réalisme mathématique" en disant exactement le contraire de ce que donnent les cardinaux.

Certes il est intéressant de voir qu'on peut aborder un même concept de plusieurs façons différentes et que les conclusions auxquelles on arrive dépendent des définitions qu'on donne de "autant" par exemple mais dans le cas présent, cela me semble plus risquer d'introduire de la confusion et relever d'une envie de se faire plaisir que d'une démarche pédagogique.

P.S : le n'importe quoi ne portait sur la valeur de ce qui était écrit mais sur le coté "ce qui me passe par la tête". Mais certaines des affirmations sur le lien entre les concepts et le "coté intuitif" me semblent très contestables.

[Médiat]

@gg0, une fois de plus je constate que vous répondez à des messages que vous ne lisez pas, ou ne comprenez pas !

[Médiat]

@pm42 : +1, et je précise que lire le lien que j'ai donné aurait pu être utile à certains.

[gg0]

Médiat,
une fois de plus, je constate que tu n'as aucune souplesse de pensée !

[gg0]

Pm42, dès la troisième réponse, Minpolink était sans doute perdu par vos (vous trois) affirmations, faute de l'apprentissage technique que vous avez mais pas lui. C'est assez caractéristique des matheux de ne pas se mettre au niveau des questionneurs. Donc un peu plus ou un peu moins, et ça ne justifiait pas le "n'importe quoi", assez mal-venu.

Je laisse GBZM vous répondre s'il y tient, je marquais seulement un étonnement devant des messages qui n'auraient pas dû exister.

Cordialement.

[Médiat]

Médiat,
une fois de plus, je constate que tu n'as aucune souplesse de pensée !

Ok boomer !

[pm42]

Pm42, dès la troisième réponse, Minpolink était sans doute perdu par vos (vous trois) affirmations, faute de l'apprentissage technique que vous avez mais pas lui.

Gigantesque n'importe quoi : il parle de bijection et je lui réponds en utilisant uniquement les mêmes concepts.

On est content de savoir que faire cela, c'est "ne pas savoir se mettre au niveau" mais qu'introduire la densité qu'il ne connait sans doute pas, c'est une bonne idée.
J'arrête là parce que là, on est dans la mauvaise foi totale.

[jiherve]

Bonsoir
encore une preuve que l'infini rend fou!
sorti.
JR

[Liet Kynes]

Bonsoir
encore une preuve que l'infini rend fou!
sorti.
JR

Mais non il faut juste être deux pour compter et se rendre compte que celui qui compte les entiers pairs et impairs parle deux fois plus vite que l'autre

[Liet Kynes]

Et ceux qui comptent ce que chacun des deux à compter n'ont pas besoin d'être plus d'un

[Ernum]

Salut,

ggo, quand j'ai vu ça:

Par contre, il y a bien deux fois plus d'entiers que d'entiers pairs, au sens que la densité des entiers pairs dans est 1/2.

j'ai été étonné que tu ne réagisse pas comme pm42.

Cette assertion en deux parties, est apparemment juste mais doit être comprise dans son ensemble. Si la seconde partie n'est pas comprise, il ne restera dans l'esprit du PM que la première. Ce qui est justement l'objet de son erreur et risque de le conforter dans celle-ci.
Vous savez tous ici, que si on demande au premier quidam venu, si entre l'ensemble des points d'une droite et celui d'un plan lequel est le plus grand, quelle réponse va sortir (l'intuition est mauvaise conseillère).

Après, on va pas se prendre le choux, tu t'es fait plaisir avec GBZM, c'est humain, mais c'était pas très pédagogique.

Post #2 de pm42 qui introduit le concept de bijection (ça ouvre les sacras) et celui de Deedee qui dit que néanmoins il existe différents infinis dont les mathématiciens leur ont donné un petit nom qui commence par aleph, c'est déjà pas mal je trouves. C'est dit avec mes mots, je ne suis pas de la partie.

[gg0]

Désolé, Ernum, mais ça fait 50 ans que je sais que la notion de "même nombre de" n'a pas de sens unique en mathématiques. La notion de cardinal n'est pas satisfaisante (les géomètres en ont bien conscience depuis l'antiquité, en définissant les espaces à 2 et 3 dimensions). L'erreur pédagogique est de ramener systématiquement "même nombre" à même cardinal.
Non, je ne faisais pas ces remarques "pour me faire plaisir".

Cordialement.

[GBZM]

Bonjour,

Cette avalanche de réactions horrifiées me fait rigoler.
Si on oublie tout de l'ensemble des entiers naturels et de l'ensemble des pairs, autrement dit si l'on ne considère que les ensembles tout nus, alors bien sûr il n'y a rien d'autre entre eux que des applications injectives, bijectives ... Et comme il y a une bijection entre les deux, les deux ensembles ont même cardinal. Point barre.
Oui mais ..., dit notre intervenant. Pour lui, et pour le commun des mortels, l'ensemble des entiers naturels vient avec son ordre et les nombres pairs viennent avec leur inclusion dans l'ensemble des entiers naturels. Et on peut parfaitement comprendre que le "même cardinal, point barre" lui semble un peu court.
Est-ce alors un crime abominable de lui dire que l'intuition de "deux fois moins de pairs" peut se mathématiser, sans que cela remette en cause de quelque façon que ce soit l'égalité des cardinaux ?

Un point intéressant a été soulevé par Minpolink à la fin de son message, que seul gg0 a relevé : Minpolink bouleverse justement l'ordre sur . On peut à partir de son intervention inventer une variante de l'hôtel de Hilbert : un grand couloir circulaire avec d'un côté les chambres numérotées 0,2,4,... (de plus en plus petites) et de l'autre 1,3,5, ... .
La super-femme de chambre chargée de l'étage s'occupe dans l'ordre des chambres 0,2,4,... d'un côté puis, après avoir fait le tour, des chambres 1,3,5,.... de l'autre côté.
Voila un nouveau type d'ordre sur : si on note le type d'ordre habituel, celui-ci est , ou encore . Comme disait gg0, on a sauté à pieds joints dans les ordinaux - ce ne sont pas des ensembles tout nus, mais des ensembles avec un "bon ordre" (toute partie non vide a un plus petit élément).

Pour le segment unité et le pavé unité, si on oublie tout d'eux pour ne voir qu'un tas d'éléments, il ne reste que le cardinal qui est le même pour les deux. Mais ils viennent avec des propriétés topologiques et géométriques, et le cardinal ne dit rien là-dessus. On peut les comparer de façon plus fine qu'avec le cardinal, en prenant en compte ces autres propriétés. J'ai encore commis un crime impardonnable en écrivant ça !

Allons, avec cette canicule il est mauvais de s'échauffer comme ça. Restez bien au frais, et attendons de voir les réactions de Minpolink - si jamais il revient ...