inégalité entre un produit d'integrales et une integrale de produit de deux fonctions à 2 variables

[CSC16]

Bonjour tout le monde
J'ai à prouver une inégalité et je patine, alors voilà comment ça se présente: Soit une fonction , et enfin et soit la fonction où _theta est un angle quelconque.
comment prouver que
merci à vous
-----

[JPL]

Je pense qu’il manquait les balises Tex. Si j’ai fait une erreur je peux corriger.

[MissJenny]

l'inégalité ne dépend pas de g. Elle vient du fait que la fonction x -> x^2 est convexe.

[GBZM]

Bonsoir,

Tu peux voir comme une mesure de probabilité, et l'inégalité te dit que le carré de l'espérance de la variable aléatoire est plus petit que l'espérance de son carré.
Si tu sais démontrer ça, tu sauras démontrer l'inégalité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[CSC16]

GBZM
Mais pour ça il faudrait que la variable aléatoire g(x,y) ait comme ddp f(x,y), mais ce n'est pas le cas. Donc ça va pas le faire

[CSC16]

MissJenny
je sais qu'elle ne depend pas de g(x,y), oui et ???

[GBZM]

Mais pour ça il faudrait que la variable aléatoire g(x,y) ait comme ddp f(x,y), mais ce n'est pas le cas. Donc ça va pas le faire

Mais qu'est-ce que tu racontes ? est une mesure de probabilité qui fait du domaine de (c'est ? pas très clair dans ton premier message) un espace probabilisé. Maintenant est une variable aléatoire définie sur cet espace probabilisé et à valeurs dans . Ça le fait très bien !

[CSC16]

Mais qu'est-ce que tu racontes ? est une mesure de probabilité qui fait du domaine de (c'est ? pas très clair dans ton premier message) un espace probabilisé. Maintenant est une variable aléatoire définie sur cet espace probabilisé et à valeurs dans . Ça le fait très bien !

Tu me dis que f(x,y) peut être vue comme une ddp je te dis qu'en effet on pourrait la voir ainsi, mais ce n'est pas en réalité une ddp. c'est juste une fonction à deux variables définie sur [TEX]R^2_+[TEX] qui possede les caractéristiques que j'ai mentionnées et g(x,y) est une autre fonction qui n'est pas du tout une va et qui ne suit aucune loi de probabilités. D'ailleurs ce probleme est à la base un probleme traitement deterministe d'images [TEX]f(x,y) [TEX] est une image normalisée et [TEX](-x\sin\theta+y\cos\theta) [TEX] est la derivée par rapport à [TEX]\theta[TEX] d'une droite [TEX] x\cos\theta+y\sin\theta -\rho[TEX].

[GBZM]

Tu persistes dans ton erreur. Passons en revue les définitions de base de la théorie des probabilités

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire réelle ? C'est une fonction mesurable , où est une espace probabilisé.
Qu'est-ce qu'un espace probabilisé ? C'est un ensemble muni d'une tribu et d'une mesure sur cette tribu telle que .
Dans ton cas, , est la tribu de Lebesgue et est la mesure de probabilité associée à , c.-à-d. que si est mesurable, alors . Les propriétés de la fonction (positivité, d'intégrale 1 sur ) font qu'il s'agit bien d'une mesure de probabilité.

Qu'est-ce que l'espérance de la variable aléatoire ? C'est l'intégrale de sur par rapport à la mesure de probabilité , autrement dit c'est .

Je veux bien que cette approche probabiliste ne te parle pas et que tu ne puisses pas exploiter ma suggestion parce que tu ne vois pas dans ce cas l'inégalité classique entre carré de l'espérance et espérance du carré. Mais ne viens pas dire que ce n'est pas du tout ça !

PS. La deuxième balise pour le code LateX doit être écrite avec un antislash : [\TEX]

[MissJenny]

Tu me dis que f(x,y) peut être vue comme une ddp je te dis qu'en effet on pourrait la voir ainsi, mais ce n'est pas en réalité une ddp.

une fonction positive mesurable dont l'intégrale est 1 et une densité, il n'y a pas à chercher plus loin.

g(x,y) est une autre fonction qui n'est pas du tout une va

Variable aléatoire est juste un autre nom pour fonction mesurable. Donc g est bien une variable aléatoire.

mais tu n'as pas vraiment besoin d'utiliser le formalisme probabiliste pour résoudre cette question.

[CSC16]

une fonction positive mesurable dont l'intégrale est 1 et une densité, il n'y a pas à chercher plus loin.



Variable aléatoire est juste un autre nom pour fonction mesurable. Donc g est bien une variable aléatoire.

mais tu n'as pas vraiment besoin d'utiliser le formalisme probabiliste pour résoudre cette question.

On pourrait la considérer ainsi (f(x,y)) si ça arrangait nos affaires mais pour ce cas, ça ne méne nulle part car rien ne lie f(x,y) et g(x,y) même si elles sont vues comme ddp et va.

[GBZM]

Dis plutôt que tu ne peux pas exploiter cette piste parce que tu ne sais pas traduire dans ce cas la démonstration (très simple) du théorème de Koenig-Huygens : .
Bon, si les probas sont trop loin pour toi, tant pis.

[CSC16]

Tu persistes dans ton erreur. Passons en revue les définitions de base de la théorie des probabilités

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire réelle ? C'est une fonction mesurable , où est une espace probabilisé.
Qu'est-ce qu'un espace probabilisé ? C'est un ensemble muni d'une tribu et d'une mesure sur cette tribu telle que .
Dans ton cas, , est la tribu de Lebesgue et est la mesure de probabilité associée à , c.-à-d. que si est mesurable, alors . Les propriétés de la fonction (positivité, d'intégrale 1 sur ) font qu'il s'agit bien d'une mesure de probabilité.

Qu'est-ce que l'espérance de la variable aléatoire ? C'est l'intégrale de sur par rapport à la mesure de probabilité , autrement dit c'est .

Je veux bien que cette approche probabiliste ne te parle pas et que tu ne puisses pas exploiter ma suggestion parce que tu ne vois pas dans ce cas l'inégalité classique entre carré de l'espérance et espérance du carré. Mais ne viens pas dire que ce n'est pas du tout ça !

PS. La deuxième balise pour le code LateX doit être écrite avec un antislash : [\TEX]

Merci pour ta remarque concerant le latex. Aussi moi je sais que:
Si X est une variable aléatoire absolument continue de densité f, on appelle espérance de X, le réel [TEX] E(X) [\TEX] défini par :[TEX] E(X)=\int x f(x)dx [\TEX], c'est la definition que je connais, et ça va donner la valeur la plus probable de X, la moyenne par exemple quand il s'agit d'une ddp Gaussienne. Maintenant ma question est la suivante, elle pourrait être bête car je ne suis pas une as question probabilités: si on peut associer n''inporte quelle ddp et a une va que serait le sens de l'espérence mathématique de cette association.

[GBZM]

Désolé, erreur de ma part, c'est le slash ordinaire [/TEX]

Et je ne comprends pas bien le sens de ta question.

Écoute, laisse tomber la piste probabiliste si ça ne te parle pas du tout.

[CSC16]

Dis plutôt que tu ne peux pas exploiter cette piste parce que tu ne sais pas traduire dans ce cas la démonstration (très simple) du théorème de Koenig-Huygens : .
Bon, si les probas sont trop loin pour toi, tant pis.

Pour commencer, ça ne sert à rien d'être méchant comme ça, et puis si je peux exploiter sans passer par ton theoreme et je vais te le montrer si ce que tu dis est vrai il suffit juste de calculer la variance [TEX]\int\int f(x,y)((gx,y)-E[g(x,y)])^2dxdy[\TEX] qui est toujours positive pour tomber sur E[g(x,y)^2]>E[g(x,y)]^2. tu vois que ce n'est pas difficile. Alors à toi de me répondre concernant ma question, je suis serieuse je voudrais juste comprendre le sens de l'esperance mathématique quand on associe une ddp et une va qui ne suit pas cette ddp. Allez à moins que tu ne saches pas.

[MissJenny]

je crois que ton incompréhension vient de ce que tu penses que f devrait être la densité de g, ce qu'elle n'est pas. Sinon, pour apprendre un peu quelque-chose de ce problème, tu peux regarder du côté de l'inégalité de Jensen.

[GBZM]

Pas de problème, j'arrête d'être "méchant" dès que tu perds le réflexe de dire qu'une indication est fausse ou ne peut servir à rien quand tu ne la comprends pas. Si tu viens demander de l'aide sur ce forum, il est bon de te dire que les gens qui te répondent en savent peut-être plus que toi et de donnent des indications pertinentes, sans faire le travail à ta place.

il suffit juste de calculer la variance qui est toujours positive pour tomber sur . tu vois que ce n'est pas difficile.

Bien sûr que ce n'est pas difficile. C'est ce que je te dis depuis le début. Je suis content que tu aies vu le truc, tu as fait ce calcul ?

je voudrais juste comprendre le sens de l'esperance mathématique quand on associe une ddp et une va qui ne suit pas cette ddp. Allez à moins que tu ne saches pas.

Nouvel exemple de ce réflexe que je te reproche. MissJenny t'a déjà répondu là-dessus. Bien sur que n'est pas la densité de la variable aléatoire réelle . D'ailleurs tu vois bien que ça ne fait pas sens puisque est à valeurs dans et que est définie sur . En fait est la densité de la mesure de probabilité sur par rapport à la mesure de Lebesgue. Elle rentre dans la définition de l'espace probabilisé et n'est en rien liée aux variables aléatoires définies sur cet espace probabilisé.
De façon à peu près correcte, la fonction de densité d'une variable aléatoire définie sur est définie par



Si tu as d'autres questions, je peux essayer d'y répondre. Mais, s'il te plaît, débarrasse toi de ce mauvais réflexe.