Fonction non convexe

[titi07]

Bonjour,
merci de m'orientez à prouver cette inégalité, si une fonction est croissante, non-convexe sur et , alors
, pour tous

Le problème est que je n'ai pas su comment utiliser l'hypothèse "non convexe" et est ce que "non convexe" veut dire que la fonction n'est convexe en aucun points et


Je vous remercie à l'avance


Cordialement
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[MissJenny]

annulé
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[titi07]

Bonjour,
j'ai pas bien saisi votre réponse.


Cordialement

[gg0]

Bonjour.

La convexité est une notion globale, "en un point" n'a pas de sens.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Il doit manquer des hypothèses. Il est facile de trouver un contre exemple, par exemple la fonction qui vaut 0 de 0 à 0,5, 1 de 0,5 à 0.7 et 10 de 0,7 à 1, avec x=0,6 et y=0,8.

Cordialement

[titi07]

Bonjour,
merci pour votre réponse, j'ai pas écrit la condition .
Je pensais qu'elle n'est pas utile pour prouver ça.
Sinon le fait de dire non-décroissante (qui est écrite sur l'énoncé de la question) est la même chose que croissante.

Cordialement

[gg0]

Pas du tout. La fonction x-->x² est "non-croissante" et "non-décroissante".

Si ton énoncé est autre, par exemple qu'il dit "concave" à la place de "non-convexe", on peut en reparler. Mais il faut respecter le sens des mots français.

Cordialement.

[titi07]

alors, je vous recopie l'énoncé:
la fonction est supposé être non décroissante, non convexe et elle vérifie et

Cordialement

[gg0]

Ce n'est pas un énoncé français, s'agirait-il d'une traduction ? Ou bien as-tu une définition mathématique de "non-convexe" ?

Si la fonction est croissante (strictement) et concave, il te suffit de traiter le cas x<y qui permet de supprimer les valeurs absolues et d'appliquer la concavité.

[titi07]

Effectivement c'est un texte traduit: is non-decreasing and non-convex Apparemment, j'ai mal traduit?
Mais j'ai pas su comment appliquer la concavité?

Merci encore une fois


Cordialement

[gg0]

Ah ces anglo-saxons avec leurs noms contre-intuitifs !!
Donc s'il s'agit de fonction concave, tu peux examiner les cordes AB et OC où A(x,f(x)), B(y,f(y)), O(0,0) et C(y-x,f(y-x)) (toujours avec x<y).

J'ai l'impression que la limite en 0 ne sert à rien, à moins que non-convex signifie concave au sens large, elle servirait à éviter une fonction affine (linéaire).

Cordialement.

[titi07]

merci encore une fois de m'avoir répondu, mais je ne suis pas encore arrivée à l'inégalité malgré votre indication.

cordialement

[titi07]

Bonjour,
J'arrive toujours pas à trouver l'inégalité,
Pouvez vous m'aider encore plus.

Merci et bonne journée

[gg0]

OK, mais alors donne moi ta définition de "fonction concave" et les propriétés que tu connais sur les fonctions concaves. Et aussi, l'énoncé complet et précis de la question, si ce n'était pas exactement ce que tu as copié dans le premier message (éventuellement avec le texte d'origine).

Cordialement.

[titi07]

Si une fonction est "non-decreasing" et "non-convex" et , alors

Pour moi une fonction concave vérifie:
où


Cordialement

[gg0]

C'est tout ? Tu n'as aucun cours sur les fonctions convexes ? Les propriétés des fonctions concaves s'en déduisent (si f est convexe sur I, -f est concave).

Ta définition dit que la courbe est au dessus de ses cordes. Prends trois points A,B,C d'abscisses croissantes et regarde ce que tu peux dire des cordes [AB] et [BC], puis 4 points.

[titi07]

Donc je peux utiliser cette définition mais quel choisir?
sinon je ne sais pas comment utiliser le fait que les cordes soient au dessus de la courbe?

Cordialement

[gg0]

Prends le temps de chercher, fais des dessins, trouve des choses à faire ...

"Donc je peux utiliser cette définition mais quel choisir? " mauvaise question ! tu n'as pas vraiment lu la définition.

Rappel : https://forums.futura-sciences.com/m...ces-forum.html.

[titi07]

Je m'excuse si je vous ai dérangé avec ma question, croyez moi j'ai cherché, mais comme je n'ai jamais réellement travaillé avec ces fonctions convexes ou concaves, alors je n'arrive pas à comprendre le sense de la phrase "les cordes se trouvent au dessous de la courbe" ? et j'ai essayé de le faire en utilisant l'inégalité avec
sinon je vous remercie pour vos indications et je vais chercher plus.


Cordialement

[gg0]

Alors ce n'est pas très raisonnable de vouloir faire un exercice sur une fonction concave. La première chose à faire, c'est apprendre la notion de base.

Définition : où
Quand varie de 0 à 1, le réel varie de à . soient et deux points de la courbe. La portion de courbe entre A et B est l'ensemble des . Le segment est l'ensemble des . La fonction est concave si les points N sont au dessus des points M correspondants (c'est ce que dit la définition).

Mais le mieux est quand même que tu prennes un cours sur les fonctions convexes (attention la notion de convexité est plus générale, cherche bien fonctions convexes)