Autant de nombre pairs que d'entiers naturels ?

[Médiat]

M'enfin, personne ne remet en cause l'intérêt de la densité ou des ordinaux, mais de leur présentation comme une façon de "compter les éléments", admettez qu'une façon de compter les éléments qui dit qu'il y a 0 éléments dans {0, 1, 2} n'est pas très adaptée (cette façon de "compter" n'est pas compatible avec les ensembles finis) ou avec une façon de compter qui dépend de l'ordre dans lequel on regarde ces éléments.

Je n'aurais certainement pas réagi si vous aviez présenté la densité avec ses qualités et ses défauts.
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[pm42]

Cette avalanche de réactions horrifiées me fait rigoler.

Donc on au eu le typique :

- après des réponses à la question adaptée au niveau apparent de la personne qui les posent (ici, quelqu'un qui vient de découvrir l'égalité de cardinaux par bijection), on a quelqu'un qui vient étaler sa science et dire "oui mais en fait si on définit les choses autrement on peut dire que". Ce qui est toujours vrai pour tout en maths : avec les bonnes définitions et les bons concepts, on peut dire n'importe quoi.

- l'ignorance absolue des objections notamment le fait qu'entretenir "l'intuition" de quelqu'un en lui montrant un concept différent de celui qu'il a du mal à appréhender ne va pas l'aider

- l'affichage de son mépris et de sa supériorité imaginaire (cf. le dernier message)

- les cours de maths a des gens autant formé

- les arguments de mauvaise foi où on se met à introduire les propriété topologiques pour dire "oui mais le cardinal ne dit pas tout". Sans blague ? Là aussi, cela revient à balancer toutes les maths (enfin, celles connues du posteur) pour dire "on peut parler de n'importe quoi, on se moque bien de la question".

[Liet Kynes]

Un point intéressant a été soulevé par Minpolink à la fin de son message, que seul gg0 a relevé : Minpolink bouleverse justement l'ordre sur . On peut à partir de son intervention inventer une variante de l'hôtel de Hilbert : un grand couloir circulaire avec d'un côté les chambres numérotées 0,2,4,... (de plus en plus petites) et de l'autre 1,3,5, ... .
La super-femme de chambre chargée de l'étage s'occupe dans l'ordre des chambres 0,2,4,... d'un côté puis, après avoir fait le tour, des chambres 1,3,5,.... de l'autre côté.

Pourquoi circulaire? en ligne droite les chambres n'ont pas besoin de rétrécir.
HS : Ton analogie me fait penser à une variante que j'avais proposé en science ludique https://forums.futura-sciences.com/s...tionniste.html

[MissJenny]

La super-femme de chambre chargée de l'étage s'occupe dans l'ordre des chambres 0,2,4,... d'un côté puis, après avoir fait le tour, des chambres 1,3,5,.... de l'autre côté.

Les chambres étant de plus en plus petites, la femme de chambre met de moins en moins de temps à les nettoyer et du coup elle a effectivement des chances de finir les numéros pairs en un temps fini. Mais que se passe-t-il si un matin elle décide d'arpenter le couloir circulaire dans le sens inverse du sens habituel? Par quelle chambre commence-t-elle?

[Liet Kynes]

Les chambres étant de plus en plus petites, la femme de chambre met de moins en moins de temps à les nettoyer et du coup elle a effectivement des chances de finir les numéros pairs en un temps fini. Mais que se passe-t-il si un matin elle décide d'arpenter le couloir circulaire dans le sens inverse du sens habituel? Par quelle chambre commence-t-elle?

C'est pas un peu zenontesque comme travail ?

[GBZM]

Bon, nos amis horrifiés remettent des tunes dans le bastringue.

Mediat, évite d'utiliser des arguments foireux.

"Il y a deux fois moins de pairs que d'entiers naturels" ne compte pas les pairs, pas plus qu'il ne compte les entiers naturels. Ça estime la proportion de pairs parmi les entiers, d'une certaine façon.
"admettez qu'une façon de compter les éléments qui dit qu'il y a 0 éléments dans {0, 1, 2} n'est pas très adaptée (cette façon de "compter" n'est pas compatible avec les ensembles finis)". N'importe quoi ! La densité estime simplement que la proportion d'entiers inférieurs ou égaux à 2 parmi tous les entiers naturels est nulle. Encore une fois, estimer une proportion n'est pas compter.

La question de Minpolink n'est pas de compter les pairs ou les entiers naturels. Elle est formulée en termes de "autant", et répéter qu'il y en a autant parce qu'il y a une bijection entre l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des pairs, ce que Minpolink sait, évacue la question sans tenter d'y répondre.

Une nouvelle fois, je suggère d'attendre que Minpolink se manifeste à nouveau.

[Fabchat]

Bonjour

J'ai maté il y a quelque temps cette petite vidéo sur l'infini...

https://www.youtube.com/watch?v=1YrbUBSo4Os

[Médiat]

Moi qui pensais qu'une conversation à la fois courtoise et mathématique était possible, je me rends compte (pun intended) que c'est impossible face à la mauvaise foi ; je vais donc me replonger dans les travaux de Benci et Di Nasso, bien plus intéressants et constructifs.

[Médiat]

Bonjour

J'ai maté il y a quelque temps cette petite vidéo sur l'infini...

https://www.youtube.com/watch?v=1YrbUBSo4Os

Ecrire Card est faux, mais pire peut conduire à des confusions (comment comprendre , avec l'égalité précédente ?) Plus loin (là où j'ai abandonné), il utilise pour le cardinal de (alors que omega minuscule est dénombrable), pourquoi ne pas faire la même chose pour , ou encore plus simplement dire en français que ce cardinal est infini, ou tout simplement utiliser la notation mathématique usuelle.

Il y a bien d'autres sites parlant de l'hôtel de Hilbert, ne serait-ce que Futura-sciences.

[GBZM]

je vais donc me replonger dans les travaux de Benci et Di Nasso, bien plus intéressants et constructifs

Qui cherches-tu à impressioner ?

[Minpolink]

Oui dsl j'étais pas là hier

Pour remettre en contexte, je suis en terminale, donc je connais un peu les bijections, ensembles, cardinaux mais pas capables de différencier les différentes branches ou ce qu'on peut en faire.
Puis j'ai pas de trop de problème à l'ajout de concept, vraiment compliqué, par exemple la densité j'ai pas de problème avec.
mais dire "un vrai problème aboutissant à l'idée que la réunion de deux ensembles dénombrables disjoints est encore dénombrable", je comprends ce que ça dit mais pas son sens en maths.

Maintenant au problème :

Si on a deux ensembles infini disjoints j'ai pas de problème pour la bijection mais :
Si on a un ensemble E, infini et dénombrable.
On prends ensuite un ensemble F, qui est constitué de E + un élément.

On a donc que E inclus dans F, dans un ensemble infini c'est pas une relation d'ordre ou elle ne veut pas dire la même chose ?
au niveau cardinal on aurait : infini = infini + 1 qui est un résultat connu mais j'ai du mal à comprendre pourquoi il fait sens dans ce cas, si c'était pas l'infini on pourrait simplifier, mais vu que c'est le même infini on peut pas simplifier ou en déduire quelque chose ?

Pour la densité... c'est intéressant mais différent de ce que je cherche. C'est-à-dire que ce que ne comprends pas c'est ce qui se passe au dessus.

Enfin comment on peut se retrouver avec un N d'ordre ω x 2 ?

Ouf je finis par m'y perdre avec toutes ces histoires donc j'évite d'en mettre trop mais au final la question par rapport à l'infini Cantor ne s'est pas contenté de créer la bijection et de dire c'est évident qu'il y a une bijection entre les deux ensembles donc ils ont le même cardinal. Je comprends que les deux ensembles peuvent avoir le même cardinal mais je ne comprends pas pourquoi c'est si évident. Je vois bien que les deux ensemble ont les même élément à 1 près donc comment la bijection outrepasse ça ?

[Médiat]

Pas vous, obiously

l'infini me ronge! (futura-sciences.com)

Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ? (futura-sciences.com)

Et s'il y avait 2 fois plus d'entiers que d'entiers pairs ? (futura-sciences.com)

[Médiat]

@Minpolink

L'infini qui correspond au cardinal de est noté (première lettre de l'alphabet hébreu et se lit aleph (comme le livre de Jose Luis Borges).

Je vais tenter d'expliciter 2 de vos questions :

: L'ensemble des entiers pairs ( ci-après)peut être mis en bijection avec les entiers donc Card = Card
L'ensemble des entiers impairs ( ci-après)peut être mis en bijection avec les entiers donc Card = Card
et donc .

Pour , c'est encore plus simple : considérez et la fonction de dans définie par dont il est facile de montrer que c'est une bijection.

Je vous conseille : Prolégomènes à toute tentative future de définition du « nombre d’éléments » d’un ensemble. (futura-sciences.com) et Hilbert Hotel - Page 2 (futura-sciences.com)

[GBZM]

Minpolik, si je comprends bien, tu n'as pas de problème avec une bijection entre deux ensembles disjoints, mais ce qui te gêne est d'avoir une bijection entre un ensemble et une de ses parties strictes (une partie différente du tout) ?
C'est pourtant une des définitions d'ensemble infini : est infini s'il existe une bijection de sur un sous-ensemble strict de .
Ça équivaut à dire qu'il existe une injection de dans .

Si tu possèdes l'injection (un bug : la commande \to affiche la date au lieu d'une flèche !), tu peux prendre pour l'ensemble privé de et l'idée de l'hôtel de Hilbert te permet de définir une bijection de sur .

Si tu as la bijection de sur une partie avec qui n'est pas dans , tu définis par récurrence par et (vérifie que est bien une injection).

[Médiat]

Aucun problème :

[GBZM]

j: {\mathbb N}\to X
j: \mathbb N\to X
Le LaTeX du forum ne se comporte pas comme le LaTeX ordinaire

[Minpolink]

Ok je vais regarder un peu tout ça.

[Médiat]

@GBZM : un simple merci aurait suffi.

[Ernum]

Essaie avec " \rightarrow ".

[gg0]

Pas bon.

J'avais déjà remarqué que sur ce forum, les codes de style d'écriture nécessitent des accolades. "j : \mathbb{N} \to x
" donne :

Sans parler du placement du code dans une ligne d'écriture : La fraction est au dessus de la ligne ! Mais je n'ai jamais eu de réponse à mes remarques.

[GBZM]

@Mediat : merci pour quoi ???

[MissJenny]

Je repense à cette pauvre femme de chambre qui doit nettoyer une infinité de chambres, en commençant par les numéros pairs. Autant je vois bien comment on peut ranger les entiers naturels de sorte que les pairs soient avant les impairs, mais en construisant une suite "doublement infinie" : ...,8,6,4,2,0,1,3,5,7,... autant j'ai du mal à imaginer une suite qui commencerait par 0,2,4,6,... épuiserait tous les pairs puis se poursuivrait par 1,3,5,7,...

[Liet Kynes]

Je repense à cette pauvre femme de chambre qui doit nettoyer une infinité de chambres, en commençant par les numéros pairs. Autant je vois bien comment on peut ranger les entiers naturels de sorte que les pairs soient avant les impairs, mais en construisant une suite "doublement infinie" : ...,8,6,4,2,0,1,3,5,7,... autant j'ai du mal à imaginer une suite qui commencerait par 0,2,4,6,... épuiserait tous les pairs puis se poursuivrait par 1,3,5,7,...

J"ai déjà posé la question il y a quelque temps ; c'est un non sens d'après ce que j'avais compris

[GBZM]

Comlme j'ai fait pas mal de coquilles, je reprends :

Si tu possèdes l'injection , tu peux prendre pour l'ensemble privé de et l'idée de l'hôtel de Hilbert te permet de définir une bijection de sur .

Si tu as la bijection de sur une partie avec qui n'est pas dans , tu définis par récurrence par et (vérifie que est bien une injection).

[Médiat]

j'ai du mal à imaginer une suite qui commencerait par 0,2,4,6,... épuiserait tous les pairs puis se poursuivrait par 1,3,5,7,...

C'est, très précisément une mise en évidence de l'ordinal , peut être identifié à , on met une copie de IN après IN.

[GBZM]

@MissJenny : le problème est que tu penses en termes de "suite".

Simplement, tu définis un ordre sur par si et seulement si
- ou bien et ont même parité et
- ou bien est pair et impair.

Exercice : c'est un bon ordre (toute partie non vide a un plus petit élément.
Le type d'ordre de ce bon ordre est , où est le type d'ordre de avec son ordre naturel (le plus petit ordinal infini).

[GBZM]

Je m'aperçois que je n'ai pas répondu à ta question : "Mais que se passe-t-il si un matin elle décide d'arpenter le couloir circulaire dans le sens inverse du sens habituel? Par quelle chambre commence-t-elle? "
Ben si tu renverses l'ordre que j'ai défini ci-dessus, ce n'est plus un bon ordre et et il n'y a plus de plus petit élément.
Mais le problème se pose déjà avec l'hôtel de Hilbert standard : si la femme de chambre décide de faire les chambres dans l'ordre décroissant des numéros, par laquelle commence-t-elle ?

[MissJenny]

@MissJenny : le problème est que tu penses en termes de "suite".

ben je me mets à la place de cette pauvre femme. Il faut bien qu'elle fasse une chambre, puis une autre, puis une autre... n'est-ce pas ce qu'on appelle une suite? (sans jeu de mots)

[GBZM]

Mais comme c'est une super-femme de chambre, elle fait toutes les chambres paires l'une après l'autre en un temps fini, et quand elle a fini elle s'attaque à la chambre 1, puis 3, puis ..

[Liet Kynes]

Mais comme c'est une super-femme de chambre, elle fait toutes les chambres paires l'une après l'autre en un temps fini, et quand elle a fini elle s'attaque à la chambre 1, puis 3, puis ..

C'est précisément là-dessus qu'il m'a été dit que cela n'avait pas de sens, comment peut-elle finir même en allant de plus en plus vite ? Je comprends qu'elle soit de plus en plus motivée en ayant fait un grand nombre de chambres, elle peut se dire qu'elle avance et verra le bout mais bon il y a toujours une chambre paire avant le début des chambres impaires ?
Qu'elle soient de chaque côté du couloir ou opposées change-t-il quelque chose ?

Perso je comprendrai mieux un truc du genre ; on applique le ménage à toutes les chambres paires en même temps et aux impaires ensuite mais de façon simultanée.