Autant de nombre pairs que d'entiers naturels ?

[GBZM]

L'hôtel Hibert+Hilbert :


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[GBZM]

La super-femme de chambre fait le tour à vitesse constante.

[Médiat]

C'est précisément là-dessus qu'il m'a été dit que cela n'avait pas de sens,

C'est ce qui arrive quand on mélange mathématiques et expérience, les sens (dans les 2 sens ) sont brouillés.

[Liet Kynes]

C'est ce qui arrive quand on mélange mathématiques et expérience, les sens (dans les 2 sens ) sont brouillés.

C'était une question d'ensemble ordonné il me semble, il est évident que chercher comment la femme de ménage fait est inutile mais pourquoi elle le fait a une réponse, elle le fait car elle le peut pour la chambre 0 et par récurrence pour toutes les paires mêmes raisons pour les impaires.
Il y avait cependant le problème de la construction de l'ensemble avec un ordre comme décrit ici, les pairs puis les impairs.
Cela m'embête ce fil car j'ai justement un problème dans le style qui me fait m'interroger.

[Fabchat]

Je me pose une simple question... Est-ce que ∞/∞ = 1 ?

[amineyasmine]

[SIZE=4]Bonjour,

J'ai vu récemment qu'il y avait autant de nombre pairs et d'entiers naturels.

Bonjour
Il y a aussi autant de nombre entiers que de nombre rationnels (éléments de Q). L'ensemble de tous les polynômes contient aussi autant de nombre que les entiers. C'est le dénombrable.
Pousse les recherches pour voir les non dénombrable

[Médiat]

Je me pose une simple question... Est-ce que ∞/∞ = 1 ?

Non, d'ailleurs cette formulation n'a pas de sens (on peut juste penser que vous vous poser la question de savoir si la limite d'un quotient est égale à 1 lorsque son numérateur et son dénominateur tendent vers l'infini (quand la variable tend vers une même valeur), la réponse est bien non, il suffit de considérer x/x&, x/x et x&)

[Médiat]

L'ensemble de tous les polynômes contient aussi autant de nombre que les entiers.

C'est faux, cela dépend du corps de base.

[JJacquelin]

Bonjour,
Je tiens à remercier GBZM qui m'a signalé (par message personnel) un typo dans le papier https://fr.scribd.com/doc/15493868/P...oxes-Sophismes, page 14, article "Il y a plus de nombres qu'il y a de nombres !". Bien évidemment la phrase correcte est : "La puissance d'un aleph-n engendre l'aleph-(n+1). Cet aleph d'ordre supérieur ne peux pas être mis en correspondance biunivoque avec l'aleph d'ordre inférieur qui l'a engendré".
J'en profite pour mentionner à ce sujet la page didactique, accessible à tous, de Martin GARDNER dans son ouvrage "La magie des paradoxes", page 71, éditeur : Pour la Science, 1997.

[gg0]

La réponse de Médiat à Fabchat est mal passée :
"... la réponse est bien non, il suffit de considérer x/x², x/x et x²/x." J'espère que j'ai bien retraduit, en tout cas, c'est une réponse.

Cordialement.

[Liet Kynes]

Personne n'a relevé en #64 que la femme de ménage fait son travail par récurrence

[Médiat]

"... la réponse est bien non, il suffit de considérer x/x², x/x et x²/x." J'espère que j'ai bien retraduit,

Oui, c'est bien cela, merci.

[GBZM]

Personne n'a relevé en #64 que la femme de ménage fait son travail par récurrence

Bien sûr, par récurrence sur l'ordinal : https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A...nce_transfinie.
Et alors ?

[Liet Kynes]

Bien sûr, par récurrence sur l'ordinal : https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A...nce_transfinie.
Et alors ?

Récurrence pour récurer = faire le ménage après le message portait le n° 64 et donc l'échec du jeu de mots était prédestiné

[amineyasmine]

L'ensemble de tous les polynômes contient aussi autant de nombre que les entiers. C'est le dénombrable.

C'est faux, cela dépend du corps de base.

Bonjour
@Médiat a toujours raison, ça c’est sûr

L’ensemble des polygones construit à base des entiers naturels est bien dénombrables comme les entiers naturels eux-mêmes.

Que vient faire le corps de base ici ?

[Médiat]

est dénombrable, mais pas , le corps ou l'anneau de base est fondamental.

[Deedee81]

Salut,

Je précise aussi que :

L’ensemble des polygones

..... tu as fait là un joli lapsus

Et Médiat a raison, le corps/anneau sur lequel on construit une structure (espaces vectoriels, polynomes, graphes....) est absolument fondamental (et pas que pour déterminer si c'est dénombrable ou déterminer si la classe de toutes ces structures est un ensemble ou pas. Et bien entendu si on fait joujou avec des polynomes ou avec des vecteurs, mieux vaut quand même savoir si on a un corps fini, le corps des entiers relatifs, le corps/anneau des réels, des complexes. Quand je définit un produit scalaire je préfère savoir si j'ai des réels ou des complexes !!!!!).

Notons que les polynomes sur les entiers naturels, c'est pas top, car les entiers naturels ne forment même pas un anneau, même pas un groupe (pour l'addition par exemple). On peut bien sûr mais c'est quand même vachement restrictif. Mieux vaut les entiers relatifs au minimum.

Bon, on s'éloigne un peu du sujet mais ça méritait d'être précisé.

[Fabchat]

Est-ce alors un crime abominable de lui dire que l'intuition de "deux fois moins de pairs" peut se mathématiser, sans que cela remette en cause de quelque façon que ce soit l'égalité des cardinaux ?

Je ne m'y connait asses dans toutes ces complexités mathématique, mais c'est ce qui me semblerait le plus logique. Par défaut, il y aurait autant nombres pair que de nombres impair, ça revient à diviser un segment en 2, tout simplement... Non ?

[amineyasmine]

salut,

je précise aussi que :



..... Tu as fait là un joli lapsus

Et médiat a raison, le corps/anneau sur lequel on construit une structure (espaces vectoriels, polynomes, graphes....) est absolument fondamental (et pas que pour déterminer si c'est dénombrable ou déterminer si la classe de toutes ces structures est un ensemble ou pas. Et bien entendu si on fait joujou avec des polynomes ou avec des vecteurs, mieux vaut quand même savoir si on a un corps fini, le corps des entiers relatifs, le corps/anneau des réels, des complexes. Quand je définit un produit scalaire je préfère savoir si j'ai des réels ou des complexes !!!!!).

Notons que les polynomes sur les entiers naturels, c'est pas top, car les entiers naturels ne forment même pas un anneau, même pas un groupe (pour l'addition par exemple). On peut bien sûr mais c'est quand même vachement restrictif. Mieux vaut les entiers relatifs au minimum.

Bon, on s'éloigne un peu du sujet mais ça méritait d'être précisé.

bonjour
par défaut on est dans le réel
l’ensemble des réels est peut être un corps

[GBZM]

Bonjour

@Fabchat

Je ne m'y connai[s] [pas] asse[z] dans toutes ces complexités mathématique[s], mais c'est ce qui me semblerait le plus logique. Par défaut, il y aurait autant [de] nombres pair[s] que de nombres impair[s], ça revient à diviser un segment en 2, tout simplement... Non ?

Oui, il faut apprendre des mathématiques pour pouvoir s'y retrouver dans les ensembles infinis. Les notions intuitives de "autant ou de "deux fois moins" demandent à être mathématisées si on veut pouvoir les appliquer à de tels ensembles.

La notion de cardinal s'applique à des ensembles qu'on considère comme des "tas d'éléments", sans aucune structure. Deux ensembles X et Y ont même cardinal quand il y a une application bijective de X sur Y.
L'ensemble des entiers naturels a même cardinal que l'ensemble des entiers naturels pairs parce que l'application est une application bijective du premier sur le second.
L'ensemble des entiers naturels a même cardinal que l'ensemble des entiers naturels impairs parce que l'application est une application bijective du premier sur le second.
Et bien sûr l'ensemble des entiers naturels pairs a même cardinal que l'ensemble des entiers naturels impairs parce que l'application est une application bijective du premier sur le second.

Ceci ne te semble pas logique parce que tu vois l'ordre habituel des entiers naturels, tu vois l'ensemble des nombres pairs à l'intérieur de l'ensemble des entiers naturels et tu vois comme tout le monde qu'un entier sur deux est pair. Cette vision intuitive peut être mathématisée et recevoir une définition précise grâce à la définition de "densité" que j'ai rappelée plus haut. Ce concept de densité ne cherche pas à "compter" (contrairement à ce que prétendait Mediat), il vise simplement à donner un sens mathématique à cette idée de proportion d'un sous-ensemble dans l'ensemble des entiers naturels, en utilisant de façon essentielle l'ordre habituel sur ces derniers.

Le "autant de" est piégeux quand on parle d'ensembles infinis.
C'est pourquoi les matheux remplacent cette expression par des définitions précises, comme celle de "avoir même cardinal". Cette notion a l'avantage de pouvoir s'appliquer à des ensembles quelconques parce qu'on oublie tout des spécificités de ces ensembles, on ne les voit que comme des tas informes d'éléments.
Cette notion peut aller contre l'intuition commune comme dans le cas des nombres pairs dans l'ensemble des entiers naturels. On a vu qu'on a dans ce cas la notion mathématique de densité (1/2 pour les entiers pairs) qui ne remet nullement en cause l'égalité des cardinaux.
De même le segment [0,1] a même cardinal que le segment [0,2] (l'application est une bijection du premier sur le second) mais tout le monde voit bien que le deuxième est deux fois plus grand que le premier (ce qui est mathématisé grâce à la notion de longueur) ; quand on parle de longueur, on ne voit pas les segments uniquement comme des ensembles de points sans aucune structure.

[Deedee81]

Salut,

Je ne m'y connait asses dans toutes ces complexités mathématique, mais c'est ce qui me semblerait le plus logique. Par défaut, il y aurait autant nombres pair que de nombres impair, ça revient à diviser un segment en 2, tout simplement... Non ?

On est dans le dénombrable dans un cas et le non dénombrable dans l'autre, mais c'est le même genre de chose en effet.

par défaut on est dans le réel

Et depuis quand décrète-t-on que par défaut on doit être dans les réels ? Tu n'aimes pas les rationnels ou les complexes ? Les corps finis te donnent des boutons ??? Et si "par défaut on est dans les réels", pourquoi plus haut as-tu considéré (sans que rien ne l'indiquait) qu'on parlait de polynomes sur les entiers naturels ????

l’ensemble des réels est peut être un corps

Attention, stricto sensus, l'ensemble des réels n'est ni un corps, ni un anneau.... il n'est même pas ordonné. C'est juste un ensemble d'éléments. C'est équipé d'opérations telle que l'addition et la multiplication que cela devient un corps. Bon, c'est implicite, je pinaille un peu (mais en math j'aime bien pinailler puisque c'est le domaine de la rigueur )
Et là ce n'est pas peut-être un corps => c'est un corps

[Deedee81]

GBZM, désole, je n'avais pas vu qu'on s'était croisé. Mais nos explications sont plus que complémentaires, donc ça beigne

[Médiat]

Bonjour,

En complément de ce que dit GBZM...

Quand on parle d'ensembles (sans s'occuper d'éventuelles structures) finis, une question naturelle vient rapidement : quel est le nombre d'éléments de ces ensembles et la réponse est intuitive, il suffit de les compter, l’action de comptage proprement dite consistant à associer un nombre entier à chaque élément de l’ensemble à compter, en commençant par 1, puis 2, puis 3, etc. jusqu’à un certain nombre entier $n$, et c’est cet entier que l’on appelle le « nombre d’éléments » de l’ensemble (cette opération de comptage a une définition mathématique).

Pour les ensembles infinis, on ne peut pas trouver de tels $n$. Alors quelles sont les propriétés que l'on peut (doit) attendre d'une notion de « nombre d’éléments » ? Une fois la liste des propriétés attendues établies, il n'y aura plus qu'à définir l'objet mathématique qui modélisera le « nombre d’éléments ».

[Deedee81]

il suffit de les compter, l’action de comptage proprement dite consistant à associer un nombre entier à chaque élément de l’ensemble à compter, en commençant par 1, puis 2, puis 3, etc. jusqu’à un certain nombre entier $n$, et c’est cet entier que l’on appelle le « nombre d’éléments » de l’ensemble (cette opération de comptage a une définition mathématique).

Notons que faire ça c'est justement faire une bijection (quand elle est possible évidemment).
j'enfonce juste un petit clou comme aurait dit Nono

[Médiat]

Oui, c'est bien la signification de ma dernière parenthèse, mais je ne voulais pas "diriger" vers cette solution

[GBZM]

@Deedee81

donc ça beigne

Que de violence dès le matin ! https://fr.wiktionary.org/wiki/beigner

[Deedee81]

C'est pas beau de se moquer