Bonjour tout le monde
On sait depuis Cantor qu'il y a autant d'entiers naturels que d'entiers relatifs ou que de nombres rationnels.
J'ai lu aussi qu'il y a autant d'entiers naturels que de nombres premiers, mais je n'ai pas trouvé de démonstration.
Pouvez-vous SVP m'en donner une ?
Merci pour vos réponses
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
c'est immédiat : il suffit de montrer qu'il existe une bijection entre IN et l'ensemble des nombres premiers.
f(n)="le nième nombre premier" convient.
Déjà, les nombres premiers sont des entiers naturels, donc il y a au plus autant de nombres premiers que d'entiers. Rigoureusement, il y a une injection de l'ensemble des nombres premiers dans l'ensemble des entiers naturels : l'identité
Ensuite, comme l'ensemble des nombres premiers est infini, il n'est pas difficile de définir (par réccurence), une injection de N dans l'ensemble des nombres premiers :
p(0) = 2
p(n+1) = le plus petit premier strictement supérieur à p(n)
Il n'est pas trop difficile de montrer que c'est une fonction strictement croissante (et donc une injection)
Et ensuite, si on a une injection de A vers B et une injection de B vers A, alors il existe une bijection entre A et B (théorème de Cantor Bernstein), d'où le résultat
Merci pour la réponse. J'ai compris la démarche, mais pourrais-tu STP expliciter le raisonnement par récurrence utilisé ?Envoyé par Tryss2
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
tu peux t'inspirer de la démonstration d'Euclide: suppose que tu as déjà les n premiers termes de la suite p1,...,pn. tu formes le nombre p1*...*pn+1. Ce nombre a un diviseiur premier qui n'est aucun des pi, tu le choisis comme (n+1)ième élément de la suite. Peu importe que cette suite soit croissante, il suffit qu'elle soit injective.
Sauf erreur, cela definit seulement une injection de l'ensemble des entiers naturels dans l'ensemble des nombres premiers. Mais c'est suffisant (puisque l'ensemble des nombres premiers est un sous-ensemble de l'ensemble des entiers naturels) pour conclure.
Bonjour,
, le cardinal des entiers, étant le plus petit cardinal infini, il suffit de montrer que le cardinal d'un sous-ensemble (les premiers, ici) n'est pas fini pour montrer qu'il a le même cardinal.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour, Quelle est la probabilité de piocher un nombre premier dans un ensemble contenant tous les nombres entiers naturels ? Si les deux sont en memême nombre, ce devrait être de 1 sur 2, or ce n'est pas le cas.
Bonjour Nariai.
La notion de "en même nombre" devient très bizarre quand on a des ensembles infinis. Et raisonner avec les intuitions basées sur le fini fait commettre des erreurs.
Déjà, pour des univers finis, des événements ayant le même nombre de cas (*) n'ont pas nécessairement la même probabilité. S'il y a équiprobabilité des cas, alors oui, des événements de même cardinal ont la même probabilité.
Passons à l'univers des entiers, et réalisons une expérience de "choix au hasard".
Concrètement, ce n'est pas possible, car dès que nous choisissons un entier, c'est un "petit entier", puisqu'il en existe des 10 fois, 100 fois 10000 fois plus grands qui eux même sont bien petits par rapport à ceux qui sont 10 fois, 100 fois 10000 fois plus grands. D'ailleurs, les seules lois de probabilité sur les entiers que je connais sont ainsi faites que la probabilité est essentiellement placée sur les premiers entiers.
Maintenant on veut un choix "au hasard", c'est à dire que les nombres choisis sont équiprobables. Soit p la probabilité d'un nombre quelconque. p ne peut pas être strictement positif, puisqu'en ajoutant suffisamment de nombres strictement positifs on dépasse 1. Donc p doit être nul, ce qui veut dire que ce nombre ne sera pas choisi, qu'aucun nombre ne sera choisi, ce qui est contraire à ce qu'on veut. Finalement, on ne peut pas choisir un nombre de façon équiprobable.
Comme cette notion de probabilité n'est pas utilisable, les mathématiciens utilisent la notion de densité, définie ainsi :
Soit A une partie de l'ensemble N des entiers. Pour tout entier n j'appelle a(n) le nombre des entiers de A qui sont au plus égaux à n (**). La densité de A dans N est la limite (si elle existe) de la fraction a(n)/n.
Si A est un ensemble fini, de taille p, alors, pour n suffisamment grand (plus que le plus grand nombre de A), a(n)=p et la limite est 0. C'est 0 aussi pour des ensembles infinis, et c'est le cas pour les nombres premiers : La densité des premiers est nulle. Les nombres premiers sont de plus en plus rares quand on arrive dans les grands nombres.
Cordialement.
(*) d'événements élémentaires
(**) si A est l'ensemble des nombres premiers, a(0)=0, a(1)=0, a(2)=1, a(3)=2, a(4)=2, a(5)=3, a(6)=3, etc.
Salut Gg ! Très limpide, merci pour ta réponse.
Sincèrement.
