Groupe cyclique

[joq35]

Bonsoir à tous,

J’ai une petite question à propos d’un exo sur les groupes.

J’ai un groupe cyclique G = <a> d’ordre n.
On suppose que d divise n.
On définit le sous-ensemble H(d) = {g appartient à G, g^d = e}.

J’ai montré que H(d) est bien un sous groupe de G.
Par contre, on me demande de prendre un élément quelconque de G, g = a^k avec k compris entre 1 et n et dire à quelle condition nécessaire et suffisante g appartient à H(d).

Je bloque un peu. Je sais que (a^k)^d = (a^d)^k = e.
Par ailleurs, je sais que a^n=e.
Mais je n’arrive pas conclure. Vous pouvez m’aider un petit peu ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Pourquoi écris-tu "Je sais que (a^k)^d = (a^d)^k = e." ? Tu ne confondrais pas "je voudrais" et "je sais", par hasard ?
Reprends ça clairement :
Condition nécessaire : Je suppose que x=a^k est dans H(d). Alors x^d=e, ce qui donne ...

Petite aide : soit y un élément de G. Quelles sont les puissance de y, les y^m dont on est sûr qu'elles valent e ?

Cordialement.

[joq35]

Merci pour ta réponse.
Pour répondre à ta dernière question : y^m=e si m est un multiple de n.

Sinon, x^d=e —> (a^k)^d = e —> a^(k*d) = e mais après je ne vois pas … ça doit être tout bête en plus j’imagine.

[gg0]

m=kd donc ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[joq35]

On peut donc dire que kd est un multiple de n. C'est bien cela ?

[gg0]

Sérieusement, tu as besoin d'une confirmation 4 jours après ?
Si tu doute de tout, tu ne peux pas raisonner. Utilise simplement ton intelligence.

[joq35]

Bonsoir,

J'ai repris l'exo cet aprèm.

Donc j'ai donc G = <a>, un groupe cyclique d'ordre n.
On suppose que d divise n. On pose : n = qd avec q un entier.
On définit le sous-ensemble H(d) = {g appartient à G, g^d = e}.
Soit g = a^k un élément quelconque de G, avec k compris entre 1 et n. On me demande à quelle condition nécessaire et suffisante g appartient à H(d).

Si g appartient à H(d), alors (a^k)^d =e, d'où a^(kd) = e.
On en déduit que kd est un multiple de n, ou que n divise kd.
On en déduit que q divise k.

Les éléments de H(d) sont donc : a^q, a^2q, ..., a^dq = g^n = e.

C'était tout simplement ça ?