Proposition de la démonstration de Goldbach (bis)

[Fabchat]

Cette discussion commence de façon un peu brusque parce que c’est une partie qui a été séparée d’une autre discussion en Science Ludique.

Bonsoir

Je pense que pour démonter la conjecture de Goldbach, il manquerait un théorème qui démontrerait que n'importe-quelles paires de nombres premiers sont équidistantes à un nombre paire et que chaque nombres paires est composé d'au moins 2 nombres premiers équidistants du nombre paire en question.

Par ex : pour 42, je fait 42/2 = 21. Maintenant, si je fait 21-2=19 et 21+2=23, 19 et 23 sont équidistants de 21... Donc si je les additionne, 19+23= 42.

Autre exemple : pour 60, je fait 60/2 = 30. Maintenant, je fait 30-1=29 et 30+1=31... 29 + 31 = 60.

Je peux prendre n'importe-quels paires de nombres premiers elles seront toujours équidistantes d'un nombre paire et n'importe-nombres paire sera toujours la somme d'au moins 2 nombres premiers équidistants excepté 2 biens sûr... Mais comment formuler ou appliquer un tel théorème ?

Et est-ce que ça suffirait pour la démontrer ?
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[Fabchat]

Je peux prendre n'importe-quels paires de nombres premiers elles seront toujours équidistantes d'un nombre paire et n'importe-nombres paire sera toujours la somme d'au moins 2 nombres premiers équidistants excepté 2 biens sûr...

Oups ! J'ai dit une grosse bêtise là !

En fait, c'est valable même pour 2
2/2 = 1... 1+4 = 5 et 1-4 = -3 donc 5 - 3 = 2.

En fait, ça fonctionne pour tout les nombres, qu'ils soient paires, impaires ou à virgule, sauf que pour un nombre impaire, il faut le décomposer en 2 nombres consécutifs.

Exemple pour 31 :
31 = 15 + 16 ; 15-2 = 13 et 16+2 = 18 donc 13 + 18 = 31.

[Deedee81]

Salut,

Et est-ce que ça suffirait pour la démontrer ?

Non hélas. Car il faut démontrer que tout nombre pair (sauf 2 évidemment) est la somme de deux nombres premiers, pas l'inverse. Or le constat que tu as fait permet de montrer que toute paire de nombre premiers à un nombre pair comme somme. Outre que c'est évident (pas besoin de l'équidistance pour le remarquer) c'est une inversion de l'implication.

Pour démontrer Goldbach il faut partir de tout nombre pair et pas de de toute paire de nombre premiers.

As tu lu : https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Goldbach
Et en particulier la partie état des recherches.
Par exemple en 2013 il a été démontré que tout nombre impair supérieur à 5 est somme de trois nombres premiers. C'est très proche.
Et il est particulièrement instructif de voir comment on a abouti à de tels résultats.

[CM63]

Bonjour
> remarque: le seul nombre pair premier est 2;alors tout le reste est impair. Or la somme de deux nombres impair est pair en particulier deux nombres premiers. Ainsi tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers. NB:la décomposition n'est pas unique exemple 20=13+7=17+3....signé le Camerounais Sack Leonel merci.

Vérifier.

Et quelle est ta question?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Et quelle est ta question?

attention Sack Leonel n'est plus revenu depuis deux mois.

Mais je n'avais pas vu qu'il avait commis la même gaffe de raisonnement que Fabchat (ce qui n'est pas une surprise, sur Goldbach, les premiers jumeaux, P=NP, Fermat, j'ai vu ça trente-six fois. Pas sur Riemann par contre, faut croire que les prolongements analytiques rebutent un peu les curieux )

J'ai vu pire (EDIT non c'est pas pire, juste une autre gaffe classique). Une longue démonstration de Goldbach (que j'avais reçu par mail) qui commençait par de longs exemples avec des tableaux et tout et tout. C'est une très mauvaise manière de faire dans un article de mathématique (pour expliquer en classe oui, dans un article non). Et de fait l'auteur en déduisait des propriétés qui en fait supposaient la conjecture vraie (c'était pas très visible, d'où le piège). Et plus loin en déduisait que la conjecture était vraie. Forcément !

Par après il a réalisé un article beaucoup plus "Mathematic Compliant", et utilisant des théories existant un peu pointu. Là j'étais incapable de vérifier (je connaissais pas ces théorèmes). Mais je subodore que la démonstration était encore erronée.... sinon on en aurait entendu parler !!!!

Ceci dit, vu le lien wikipedia et l'état de la recherche, je ne serais pas surpris que la conjecture tombe bientôt (de même pour les jumeaux) même si je peux me tromper
(je serais beaucoup plus prudent avec Collatz ou P=NP où j'ai lu dans un article qu'aucune approche conventionnelle ne semble pouvoir aboutir, ça a déjà été examiné en long, en large et en travers. Et il faudra donc des avancées pointues, comme cela fut le cas pour le grand théorème de Fermat, mais là aussi l'avenir peut réserver des surprises)

[Fabchat]

Deedee81

Non, tu a mal saisi ce que j'ai dit... Tu dit :

Non hélas. Car il faut démontrer que tout nombre pair (sauf 2 évidemment) est la somme de deux nombres premiers, pas l'inverse. Or le constat que tu as fait permet de montrer que toute paire de nombre premiers à un nombre pair comme somme.

Hors, j'ai dit :

que chaque nombres paires est composé d'au moins 2 nombres premiers équidistants du nombre paire en question.

CHAQUE nombres paires, c'est à dire, tout les nombres paires.

[Fabchat]

Deedee81

Après, j’admets avoir peut-être mal formulé ce que j'ai voulu dire...

Donc, je reformule...

Pour chaque nombres paires (c'est à dire, tout les nombres paires) on trouvera toujours au moins 2 nombres premiers équidistant de ce nombre.

Donc, tout nombres paire peut s'écrire sous la forme de 2 nombres premiers puisqu'il y aura toujours au moins 2 nombres premiers équidistants de ce nombres.

[JPL]

Il faudrait, pour plus de clarté et pour le respect de la langue, d’éviter la confusion entre pair et paire !

[Verdurin]

Pour essayer d'éclaircir ce que dit Fabchat.
Supposons que l'on démontre la proposition suivante :
« quelque soit l'entier n supérieur ou égal à 4, il existe un entier a tel que n-a et n+a sont premiers ».
Peut-on en déduire la conjecture de Goldbach ?

La réponse est évidement oui.
On peut dire que c'est juste une reformulation de cette conjecture.

[MissJenny]

Pour chaque nombres paires (c'est à dire, tout les nombres paires) on trouvera toujours au moins 2 nombres premiers équidistant de ce nombre.

Donc, tout nombres paire peut s'écrire sous la forme de 2 nombres premiers puisqu'il y aura toujours au moins 2 nombres premiers équidistants de ce nombres.

tu veux dire : tout nombre pair s'écrit comme la moyenne de deux nombres premiers, c'est bien ça?

[Liet Kynes]

Il faudrait, pour plus de clarté et pour le respect de la langue, d’éviter la confusion entre pair et paire !

Tu aurais pu aussi dire "Il faudrait, pour éviter de commettre un impair et pour le respect de la langue, d’éviter la confusion entre pair et paire !"

[JPL]

Tant qu’on est dans la syntaxe j’en profite pour un petit plaidoyer : ne pas confondre quel que avec quelque, et ceci quel que soit le sujet de la discussion. Et l’autre erreur classique : hors à la place de or.

C’était la minute, hors sujet, de maître Capelo (pour ceux qui se souviennent)

[Liet Kynes]

Tant qu’on est dans la syntaxe j’en profite pour un petit plaidoyer : ne pas confondre quel que avec quelque, et ceci quel que soit le sujet de la discussion. Et l’autre erreur classique : hors à la place de or.

C’était la minute, hors sujet, de maître Capelo (pour ceux qui se souviennent)

Oui maître JPL

[JPL]

Enfin quelqu’un qui rend hommage à ma modestie

[Fabchat]

MissJenny

tu veux dire : tout nombre pair s'écrit comme la moyenne de deux nombres premiers, c'est bien ça?

Comme je suis débutant en mathématique et arithmétique, je ne sais pas comment je dois formuler ce genre d'explications.

La moyenne, c'est à dire ?...

Comme à dit Verdurin précédemment :

On peut dire que c'est juste une reformulation de cette conjecture.

En fait, je n'est fait que reformuler la conjecture, sans m'en rendre compte, désolé.

Mais bon, j'aimerai répondre à ta question, sauf que, par rapport à ce que j'ai expliqué avant, je ne vois pas comment mieux formuler mon explication.

[MissJenny]

ce que j'ai compris de ton argument, c'est que pour chaque entier pair n il existe un entier h<n tel que p1 = n-h et p2 = n+h sont premiers. Alors n=(p1+p2)/2. C'est vrai pour 4 et 6. Au-delà je ne sais pas calculer...

[Deedee81]

Salut,

En fait, je n'est fait que reformuler la conjecture, sans m'en rendre compte, désolé.

Oui et désolé j'avais mal compris ton explication. Ceci dit, en effet, cette reformulation n'est pas plus facile à démontrer que la formulation habituelle. C'est assez piégeux la théorie des nombres. Et là aussi j'ai vu plusieurs cas où il y avait une "petite" faille dans la démonstration et où il s'avère que pour démontrer ce "détail" c'est aussi difficile que le théorème initial. A celui à qui ça arrive ça doit être désagréable car c'est la douche froide. J'ai eut la blague avec certains problèmes de topologie (et en plus j'ai appris après qu'ils avaient déjà été démontrés, et sans erreurs eux. Pfffff)

De plus beaucoup de problèmes pour être démontrés doivent faire des "détours" par des outils mathématiques bien plus puissant que l'arithmétique. Un bon exemple est la démonstration du grand théorème de Fermat qui passe par les formes modulaires, les courbes elliptiques. Ceci dit cette démonstration n'est pas si horrible que ça et on en trouve même de très bons résumés compréhensibles par (presque) tous. Sa seule difficulté est qu'elle est .... longue (surtout si on doit apprendre certains des outils mathématiques ou autres théorèmes qu'elle utilise). J'ai déjà lu des longues démonstrations en détail (pas celle de Wiles mais surtout dans les algèbres de von Neuman) et parfois quand on arrive au bout on se dit "merde je me souviens plus du début" On a du mal à avoir une "vue d'ensemble".

En fait ce genre de problème n'est pas intéressant en soi (franchement le grand théorème de Fermat ou Goldbach on s'en fout un peu, c'est aussi utile qu'un troisième chaussette dans une paire de chaussettes). Ce sont les démonstrations qui sont intéressantes car elle font souvent le liens entre plusieurs domaines des mathématiques et montrent des résultats extrêmement profonds qui vont bien au-delà du théorème démontré. Un autre résultat récent célèbre (il y avait un prix d'un million de dollars) a été démontré par Perelman : la conjecture de Poincaré (Perelman a refusé le prix ). Là le théorème en soi est déjà plus utile que Goldbach (sinon il n'y aurait pas eut ce prix). Mais la démonstration utilisant la chirurgie (mathématique, évidemment, chirurgie de variétés), les flots de Ricci, etc... est là aussi extrêmement profonde et féconde.

A quelqu'un qui trouverait une démonstration simple on aurait presque envie de dire "ta gu... co...ard" Non, sans rire, une démonstration simple est parfois aussi utile : plus facile à vérifier, plus pédagogique pour ceux qui veulent la comprendre ou pour l'enseigner. Et franchement quand on voit "la" démonstration (en fait tout un ensemble) du classement des groupes finis semi-simples on comprend que la vérification soit toujours en cours, c'est épais comme un bottin téléphonique !!!!! Pourtant j'ai déjà lu des centaines de démonstration en théorie des groupes, quelques unes sont assez costaudes, mais la grande majorité sont relativement simples et courtes. Mais celle-là, My God !!!!

Je conseille quand même de consulter les démonstrations des avancées concernant Goldbach, elles sont très instructives.

[jacquolintégrateur]

Bonjour
Dans la ligne du dernier message de Deedee81, les nombres premiers n'ont pas d'autre diviseur qu'eux-mèmes et l'unité: il en résulte que toute multiplication modulo un nombre premier ne peut contenir des diviseurs de Zéro et, de ce fait, l'algèbre modulo un nombre premier est celle d'un corps. Je crois me souvenir qu'on les appelle: "Corps de Gallois" . Peut-être, faudrait-il chercher Goldbach sous la forme d'une proposition reliée aux corps de Gallois ?? Tuyau, peut-être crevé, d'un vieil Ingénieur-bricoleur, sans garantie mais gratuit!!
Cordialement.

[Fabchat]

Oui et désolé j'avais mal compris ton explication.

Ok Deedee81, pas de soucis

Très intéressent ce que tu explique.

Un autre résultat récent célèbre (il y avait un prix d'un million de dollars) a été démontré par Perelman : la conjecture de Poincaré (Perelman a refusé le prix ).

Oui, je savais ça

ce que j'ai compris de ton argument, c'est que pour chaque entier pair n il existe un entier h<n tel que p1 = n-h et p2 = n+h sont premiers. Alors n=(p1+p2)/2. C'est vrai pour 4 et 6. Au-delà je ne sais pas calculer...

Oui MissJenny, c'est bien ça... Pour des nombres un peut plus grands, tu tâtonne un peut et tu trouve... Par ex, pour 40 tu vois de suite que 40 se trouve pile entre 37 et 43, c'est 40-3 et 40+3, donc 37+43=80, c'est le double de 40... Maintenant, si tu regarde 80, il est pile entre 71 et 89, 80-9 et 80+9 donc 71+89= 160 qui est le double 80. etc.

[Fabchat]

Je vais faire un autre développement.
Ce coup si, c'est pour déduire les Nombres premiers, mais toujours avec le même principe...

Prenons 91. Comment je sais que 91 n'est pas un nombre premier ?

Si je le décompose en 2 nombres consécutifs, ça donne 45 + 46... Maintenant, je regarde où ils se situent et je vois que si je fait 45 - 3 = 42 qui est un multiple 7 et que 46 + 3 aussi. Donc 45 et 46 sont pile entre 2 multiples 7. Donc si j'additionne 45 + 46, la somme (91) seras un multiple 7.

Je peut continuer... Je vois aussi que 45 et 46 sont pile entre 2 multiples de 13... 45 - 6 = 39 et 46 + 6 = 52... 39 et 52 sont multiples de 13. Donc la somme de 45 + 46 ou 39 + 52 seras un multiple de 13. Donc je peux en déduire que 45 + 46 = 7 x 13.


Donc si je prend 2 nombres consécutifs qui ne se trouve entre aucuns multiples, leur somme sera forcément un nombre premier. Par ex, 11 + 12 = 23.

[Deedee81]

Pour des petits nombres ok, mais pour des nombres d'une centaine de chiffres y a quand même des algorithmes plus performant que ça !!!!!

[Fabchat]

Pour des petits nombres ok, mais pour des nombres d'une centaine de chiffres y a quand même des algorithmes plus performant que ça !!!!!

Ben, oui, j'espère bien, parce-que sinon, ça prendrait des plombes pour visualiser tout les potentiel multiples d'un nombre...

C'était juste pour plus détailler et approfondir un peut mon explication

[Deedee81]

C'était juste pour plus détailler et approfondir un peut mon explication

D'accord, décidément j'ai du mal à te comprendre (mais bon j'ai une excuse : c'est vendredi et il fait caniculaire, vivement la fin du boulot. En plus j'ai trois casseroles sur le feu mais je ne sais rien faire : je dois attendre les database administrateur, la compta, l'investigation d'une collègue.... et j'ai pas envie de lancer un quatrième truc..... c'est très rare que je m'emmerde au boulot )

Désolé pour ces petits commentaires persos.

[Liet Kynes]

Bonjour ne faudrait-il pas repositionner à partir de la première intervention de Fabchat vers les forums de maths ?

[Fabchat]

Bonjour ne faudrait-il pas repositionner à partir de la première intervention de Fabchat vers les forums de maths ?

Oui, ça serait mieux, je pense...

[gg0]

Bonjour.

J'ai vu exprimées deux hypothèses :
* Celle de Fabchat : Pour tout nombre pair n, il existe deux nombres premiers équidistants de n
* La "retraduction" par Verdurin : « quelque soit l'entier n supérieur ou égal à 4, il existe un entier a tel que n-a et n+a sont premiers ».
La deuxième est équivalente à la conjecture de Goldbach, puisque n-a+n+a=2n donne tous les nombres pairs à partir de 8 et que 4 et 6 sont sommes de deux premiers.
La première, de la même façon correspond à la conjecture de Goldbach restreinte aux multiples de 4 (n étant pair, 2n est multiple de 4). Je ne sais pas si ça a été démontré, je ne le pense pas, ce serait connu. C'est même une conjecture plus forte, puisque on demande que n soit la moyenne des deux.

Cordialement.

[Fabchat]

La première, de la même façon correspond à la conjecture de Goldbach restreinte aux multiples de 4 (n étant pair, 2n est multiple de 4). Je ne sais pas si ça a été démontré, je ne le pense pas, ce serait connu. C'est même une conjecture plus forte, puisque on demande que n soit la moyenne des deux.

Donc ma conjecture serait que, tout nombre pair n serait la moyenne de la somme de 2 nombres premiers ?...

J'ai peut-être une autre conjecture, Enfin, je ne sais pas si cela a était démontré ou autre...

C'est d'une certaine manière une inversion de celle de Goldbach : Tout nombre pair seraient le reste de la soustraction de 2 nombres premiers.

n = P1 - P2.

Exemple : 2= 5-3... 4= 7-3... 6= 13-7 etc.

[Fabchat]

Donc ma conjecture serait que, tout nombre pair n serait la moyenne de la somme de 2 nombres premiers ?...

J'ai peut-être une autre conjecture, Enfin, je ne sais pas si cela a était démontré ou autre...

C'est d'une certaine manière une inversion de celle de Goldbach : Tout nombre pair seraient le reste de la soustraction de 2 nombres premiers.

n = P1 - P2.

Exemple : 2= 5-3... 4= 7-3... 6= 13-7 etc.

Mais n'importe quoi moi !... J'avais oublié que j'avais mis ça, lol

C'est complètement évident ce que je dit... Tout le monde sais qu'il y a des écarts entre les nombres premiers, forcément...
Et c'est pas la soustraction, c'est la différence.

À trop, trop réfléchir à ce problème, j'en ai oublié l’essentiel et je me suis embrouillé ... Enfin bref...

Mais j'ai une excuse, j'avais quasi pas dormi depuis 2 nuits.

Voilà, voilà...