Montrer quil existe un produit scalaire tq : pour tout x de E ( norme(x))^2 =<x,x>

[anasmll]

la seule question que je n'arrive pas á montrer c'est comment montrer que f continue ?

Soit E un R-espace vectoriel muni d'une nonne II • II . On suppose que cette norme vérifie l'égalité du parallélogramme, A savoir : Vx, y € E llx + yl|^2 +llx - yl|^2 = 2 (llx||^2 +lly||^2) On se propose de démontrer que cette norme est euclidienne, c'est-à-dire qu'il existe un produit scalaire ( . | .) tel que Vx € E, llx||^2= ( x lx).
1. Montrer que si ( . l . ) existe alors
Vx, y € E , ( x l y ) = ll(x + y)/2l|^2 +ll(x - y)/2l|^2
Cette formule définit une aplication de ExE vers R ; reste à montrer que c'est bien un produit scalaire.
2. Montrer que (a2 +a1 , y) = (a1, Y) + ( a2, y)
3. Pour x , y fixés, on pose f (a) =(ax,y) .
Vérifier que Va1, a2 € R f (a1 + a2) = f (a1) + f (a2)
et que f est continue.
4. Conclure, en utilisant un résultat sur les fonctions continues.
j'ai répondu á toutes les questions sauf la continuité ...
Merci
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[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas regardé de près le début, mais tu dois pouvoir montrer que f est linéaire, ce qui fait que tu n'as plus qu'à montrer la continuité en 0. Tu peux utiliser la continuité de la norme.

Cordialement.

[anasmll]

Bonjour,
Merci pour la réponse , mais je ne vois pas comment montrer que pour tout x de E et a de R , f(ax)=af(x) (pour qu'elle soit linéaire ) et je ne comprends pas pourquoi la norme est continue en 0 ?
Cordialement .

[GBZM]

Bonjour,

En le montrant d'abord pour rationnel, puis en utilisant la continuité de (le truc classique, quoi).
Tu sais sans doute qu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Est-ce que ça ne te dit pas quelque chose sur la continuité pour la norme euclidienne standard, par exemple ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[anasmll]

Bonjour ,
Je viens de comprendre que cette exercice concerne la deuxième année dans le chapitre espaces normé ...
Merci pour vos réponses
Cordialement.