Conjectures en lien avec les nombres premiers

[Liet Kynes]

Bonjour,

En bricolant un peu, on en trouve pleins mais :

Existe-t-il une encyclopédie de celles-ci ?

Comment les classer, les répertorier en les différenciant et les hiérarchisant (forte/faibles)?
Seraient-elles dénombrables?
Quelles seraient celles qui seraient pertinentes et pourquoi ?

J'en ai une sous le coude en ce moment :

En enlevant 1 à chaque nombre premier P puis en les divisant n fois par 2 tel que n soit égale v(P-1) on obtient parmi les nombres obtenus tous les nombres premiers.

ex: 83
83-1 =82 v(82)=1 82/2=41

Déclinable à l'envie en changeant l'opération et la variable.
Combinable * dans les déclinaisons et bien sur Pertinent ou pas ?

* Combinable, simple: conjecture ci-dessus avec P+1 et P-1

83-1 =82 v(82)=1 82/2=41
83+1=84 v(84)=2 84/2/2=21

41+21=62 v(62)=1 62/2=31

L'idée de combiner ces conjectures renvoyant à la question du dénombrement de celles-ci
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[MissJenny]

En enlevant 1 à chaque nombre premier P puis en les divisant n fois par 2 tel que n soit égale v(P-1) on obtient parmi les nombres obtenus tous les nombres premiers.

autrement dit, pour tout nombre premier p il existe un entier naturel n tel que p * 2^n + 1 soit premier.

[Liet Kynes]

autrement dit, pour tout nombre premier p il existe un entier naturel n tel que p * 2^n + 1 soit premier.

Ah, merci pour la bonne formulation, c'est tout de suite plus simple.

Il y a t-il une typologie des conjectures sur les nombres premiers ?

[MissJenny]

Je me souviens d'avoir consulté le livre de Richard Guy "unsolved problems in number theory" qui en recense pas mal. Mais je ne sais pas si on peut les classifier d'une façon reconnue par tous les mathématiciens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alphasaft]

Je réponds à la question du caractère dénombrable de ces conjectures.

On commence par considérer les conjectures "simples", c'est-à-dire ayant été directement formulées par des mathématiciens (ou des gens normaux, enfin bref). Il est évident que chaque homme ne peut énoncer dans sa vie qu'un nombre fini de conjectures, et qu'il y a eu un nombre fini d'êtres humains. Donc le cardinal de l'ensemble C de ces conjectures simples est fini, mettons n. L'ensemble des conjectures découlant des combinaisons de ces conjectures simples n'est rien d'autre que , de cardinal 2^n - 1, donc fini.

Si par dénombrable tu entends équipotent à N, non, mais si comme je le pense tu entends équipotent à un sous-ensemble de N, alors oui (par exemple {1,2,...,2^n-1}).
Il est aussi possible que je n'ai pas compris ce que tu aies voulu dire .

[Liet Kynes]

Je me souviens d'avoir consulté le livre de Richard Guy "unsolved problems in number theory" qui en recense pas mal. Mais je ne sais pas si on peut les classifier d'une façon reconnue par tous les mathématiciens.

Il y a une page wikipedia en anglais qui donne une liste:
https://en.wikipedia.org/wiki/Catego..._number_theory mais il y a des conjectures et des concepts.

Une classification serait intéressante dans le sens de la simplicité de l'énoncé au regard de la complexité des calculs afférents.
Le premier seuil d'entrée serait dans la pertinence de la question sous-jacente au regard de ce qui est déjà démontré.
Ensuite , ce serait un sacré bon sujet de thèse ! cela me rappelle une thèse de maths sur les nœuds que j'avais survolé (car pas compétent pour comprendre mais j'avais trouvé des idées fascinantes).

Dans la variante de complexifier un peu les choses, j'ai repris ta formulation pour le problème "pour tout nombre premier p il existe un entier naturel n tel que p * 2^n + 1 soit premier" déjà je suis infichu de prouver la pertinence*: est-ce une vraie question ?

Au-delà, en considérant que oui c'est pertinent, si le nombre premier choisi est 3, j'ai bidouillé un peu (avec une liste de premiers cependant restreinte aux nombres de lignes de mon tableur qui me limite à n=22 pour la puissance). Je fais varier la variable que l'on additionne, il s'agira donc des nombres impairs (et j'ajoute au fait d'additionner celui de soustraire).

J'obtiens*: Pour 3, il existe une infinité de nombres premiers p' tel que pour tout x impair>3 et non multiple de 3, 3 * 2^n + x ou 3 * 2^n - x soit premier et pour tout x, la somme de 3 p' successifs obtenus est divisible par 3.

Perso cela me scotch mais je suis franchement limité par mon tableur. Je fais confiance aux listes de premières données ici : http://nombrespremiersliste.free.fr/
Je ne sais pas s'il existe des listes officielles?

[Liet Kynes]

J'ai vérifié mon histoire de divisibilité par 3 et cela ne peut pas être une conjecture car c'est juste le fait que les résultats 3 * 2^n + x ou 3 * 2^n - x ont tous la même valeur modulo 3 pour un n donné.

[Médiat]

Pour le nombre de conjectures (formule ni démontrée, ni réfutée, ni démontrée indécidable pour l'instant) : il y a un nombre dénombrable infinie de formules dans l'arithmétique de Peano, pour l'instant, seuls un nombre fini de ces formules a été démontré, réfuté, démontré indécidable ; il en reste donc une infinité dénombrable (à formuler déjà).

[Liet Kynes]

On n'a pas fini de formuler du coup. Mais donc comment choisi t-on d'étudier telle ou telle conjecture ?
Qu'est-ce qui fait qu'une conjecture est l'objet d'étude plus qu'une autre ?

[gg0]

Il y a trois usages classiques du mot conjecture :
* L'usage des mathématiciens : Propriété à priori pas spécialement évidente, mais qui semble permettre de finir certaines preuves qui intéressent les spécialistes d'une partie des maths (conjecture de Riemann), ou qui, malgré son énoncé simple, résiste aux démonstrations des spécialistes (conjecture des premiers jumeaux).
* L'usage pédagogique : on apprend aux élèves à conjecturer, c'est à dire à décider ce qu'il va falloir démontrer. Une fois la preuve rédigée, il n'y a plus rien de conjectural.
* L'usage des amateurs qui ne veulent pas sérieusement faire des maths mais se croient plus intelligents que les autres : Je fais deux ou trois essais, ça me semble juste, je généralise et je publie sur un forum, en espérant que ça deviendra célèbre (*) et qu'on donnera mon nom (*); certains donnent même tout de suite leur nom à l'énoncé. En général sans intérêt, au mieux un sujet d'exercice pour le lycée ou le début du supérieur. Les mêmes s'attaquent parfois aux conjectures des mathématiciens (celles d'énoncé simple) et prétendent parfois les avoir démontré - ce qui est faux.

Le nombre de "vraies conjectures" (celles du premier type) est assez faible, et très variable puisque la démonstration d'un résultat attendu élimine une conjecture, et que la découverte d'un nouveau domaine ou d'une nouvelle façon de traiter un problème classique amène un certain nombre de nouvelles conjectures.

Cordialement.

(*) ça n'arrive jamais.

[Médiat]

Qu'est-ce qui fait qu'une conjecture est l'objet d'étude plus qu'une autre ?

Un mathématicien constate un résultat, tente de le démontrer, mais n'y arrive pas, il en parle et ...

Dans le cours d'une démonstration, un mathématicien utilise un lemme non démontré et constate que la démonstration lui résiste, il en parle et ...

Un matin, lendemain de fête au chouchen, un mathématicien se réveille et crie "J'ai soif, mais ce serait sympa si "xxx"", il tente de le démontrer, après avoir assouvi sa soif, mais n'y arrive pas, il en parle et ...


etc.

[MissJenny]

Qu'est-ce qui fait qu'une conjecture est l'objet d'étude plus qu'une autre ?

j'imagine que personne ne sait répondre à cette question, ou ce qui revient au même, que chacun a sa réponse à lui (ou elle)

cette question n'est d'ailleurs pas propre aux mathématiques. Qu'est-ce qui fait que telle question biologique est étudiée et pas telle autre? parfois c'est évident mais parfois pas du tout (pour moi du moins)

[Liet Kynes]

Je pensai les choses plus structurées , ce serait donc dans la nature de l'esprit humain de se poser des questions qui en amènent d'autres.
On passerait donc notre temps à satisfaire une curiosité sans réelle finalité.

Après c'est vrai que se poser des questions de nature mathématique sans compétences pour y répondre, cela ne sert à rien pour faire avancer le schmilblick mais dans l'idée, peut-être que dès lors que des rudiments ont été inculqués, le besoin de questionner est là et semble rester toujours.

Au fait c'est quand même conjecturale " pour tout nombre premier p il existe un entier naturel n tel que p * 2^n + 1 soit premier" ?

[gg0]

Ce n'est pas une conjecture très sérieuse, et pour cause : le fait que p soit premier ne change rien. Pour tout entier p simple entre 1 et 10 et pas mal d'autres que j'ai testé, premiers ou pas, pairs ou impairs, on trouve un nombre premier rapidement dans la suite des p * 2^n + 1. Vu qu'on a une suite d'impairs, rien de surprenant.
Une meilleure question serait donc "existe-t-il des entiers naturels non nuls p tels que la suite des p * 2^n + 1 ne comporte aucun nombre premier". Un test élémentaire avec n entre 1 et 40 montre que pour presque tous les p entre 1 et 100, il y a des premiers dans la suite des p*2^n+1. Seuls 47 et son double 94 (vois-tu pourquoi le double ?) semblent résister, mais 47*2^583 est premier.
L'étude de telles suites se fait en théorie des nombres, mais je ne suis pas assez au courant des connaissances actuelles. J'ai simplement fait une petit essai "pour voir" ...

[Liet Kynes]

Ce n'est pas une conjecture très sérieuse, et pour cause : le fait que p soit premier ne change rien. Pour tout entier p simple entre 1 et 10 et pas mal d'autres que j'ai testé, premiers ou pas, pairs ou impairs, on trouve un nombre premier rapidement dans la suite des p * 2^n + 1. Vu qu'on a une suite d'impairs, rien de surprenant.

Ah, tu hiérarchises selon des critères mais tu ne dis pas que ce n'est pas conjectural. C'est cette approche hiérarchique qui me semble importante: une sorte d'expression de l'expérience qui ne doit pas varier forcément beaucoup d'un spécialiste à l'autre sans pour autant pouvoir se justifier formellement ?

Une meilleure question serait donc "existe-t-il des entiers naturels non nuls p tels que la suite des p * 2^n + 1 ne comporte aucun nombre premier". Un test élémentaire avec n entre 1 et 40 montre que pour presque tous les p entre 1 et 100, il y a des premiers dans la suite des p*2^n+1. Seuls 47 et son double 94 (vois-tu pourquoi le double ?) semblent résister, mais 47*2^583 est premier.

Alors là, c'est là que je me pose une question, si j'ai tout de suite beaucoup de confirmations mais pas toutes, dois t-on forcement chercher dans les calculs de grands nombres? J'ai l'impression que c'est une habitude de nature heuristique ?

Bon, il faut que je passe du temps là-dessus du coup mais "existe-t-il des entiers naturels non nuls p tels que la suite des p * 2^n + 1 ne comporte aucun nombre premier" mais choisir une suite c'est la définir*: fond de ce problème ?

Comment tu fais pour tester jusqu'à 47*2^583 et savoir qu'il est premier ?

L'étude de telles suites se fait en théorie des nombres, mais je ne suis pas assez au courant des connaissances actuelles. J'ai simplement fait une petit essai "pour voir" ...

Si tu te mets aussi aux "pour voir" ou vas -t-on ?
Perso je ne suis pas au courant des avancées du début donc je fais des trucs pour voir dont 99% sont des trivialités .. Pour les mathématiciens cela doît être délicat d'échanger sur tout et n'importe quoi parfois ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Ah, tu hiérarchises selon des critères mais tu ne dis pas que ce n'est pas conjectural. C'est cette approche hiérarchique qui me semble importante: une sorte d'expression de l'expérience qui ne doit pas varier forcément beaucoup d'un spécialiste à l'autre sans pour autant pouvoir se justifier formellement ?

g00 n'a rien hiérarchisé. Il a juste constaté que la suite p * 2^n + 1 contient forcément des nombres premiers, que p soit premier ou non. C'est aussi excitant de dire que parfois certains triangles sont isocèles.

Alors là, c'est là que je me pose une question, si j'ai tout de suite beaucoup de confirmations mais pas toutes, dois t-on forcement chercher dans les calculs de grands nombres? J'ai l'impression que c'est une habitude de nature heuristique ?

C'est une heuristique pour "casser" une hypothèse quand celle-ci résiste à des tests avec de petits nombres. En aucun cas on ne peut l'utiliser pour démontrer l'hypothèse.

Bon, il faut que je passe du temps là-dessus du coup mais "existe-t-il des entiers naturels non nuls p tels que la suite des p * 2^n + 1 ne comporte aucun nombre premier" mais choisir une suite c'est la définir*: fond de ce problème ?

Je ne comprend pas votre question.

Comment tu fais pour tester jusqu'à 47*2^583 et savoir qu'il est premier ?

Sans doute avec un logiciel de calcul symbolique comme mathematica ou maple.

Perso je ne suis pas au courant des avancées du début donc je fais des trucs pour voir dont 99% sont des trivialités .. Pour les mathématiciens cela doît être délicat d'échanger sur tout et n'importe quoi parfois ?

Ce n'est pas une bonne manière de procéder. Il vaut mieux étudier le problème et voir ce qui a déjà été fait dessus, ce qui fonctionne, ce qui ne fonctionne pas, et les questions actuellement en suspens.. Sinon, vous vous condamnez à réinventer ce qui a déjà été établi au cours des siècles précédents par des milliers de mathématiciens. Autant dire que vous risquez de devoir passer un petit millénaire* à inventer conjecture sur conjecture avant de sortir quelque chose d'intéressant.

*Ce qui n'est bien sur pas faisable.

[gg0]

Attention aux mots. Je notais que le mot "conjecture" est utilisé à tort et à travers par les amateurs peu sérieux. Quant à "conjectural" c'est un mot à tout faire. Il veut simplement dire que tu ne sais pas si c'est vrai. Ce qui est habituel pour quelqu'un qui n'apprend pas les techniques mathématiques.
Sans intérêt.

[Liet Kynes]

g00 n'a rien hiérarchisé. Il a juste constaté que la suite p * 2^n + 1 contient forcément des nombres premiers, que p soit premier ou non. C'est aussi excitant de dire que parfois certains triangles sont isocèles.

La question est de savoir si elle les contient tous. La conjecture "plus faible ?" serait de savoir si tous les éléments de N sont présents pour p >1.

C'est une heuristique pour "casser" une hypothèse quand celle-ci résiste à des tests avec de petits nombres. En aucun cas on ne peut l'utiliser pour démontrer l'hypothèse.

Oui cela je le sais mais il y a-t-il des cas pour lesquels on sait tout de suite que ce n'est pas nécessaire d'user de cette méthode alors que le problème est de nature conjecturale ?

Je ne comprend pas votre question.

""existe-t-il des entiers naturels non nuls p tels que la suite des p * 2^n + 1 ne comporte aucun nombre premier"" ces entiers naturels pour être tous listés devrait faire partie d'une suite pour pouvoir répondre à la question posée si il s'agit d'une infinité de suites alors il faudrait aussi leur donner une forme ?

Sans doute avec un logiciel de calcul symbolique comme mathematica ou maple.

On peux les interroger sur des questions comme celle-là en utilisant une formulation mathématique ?
Ils sont forcément limités quand même, dans un cadre conjecturale, l'approche permet d'infirmer mais pas de confirmer non ?

Ce n'est pas une bonne manière de procéder. Il vaut mieux étudier le problème et voir ce qui a déjà été fait dessus, ce qui fonctionne, ce qui ne fonctionne pas, et les questions actuellement en suspens.. Sinon, vous vous condamnez à réinventer ce qui a déjà été établi au cours des siècles précédents par des milliers de mathématiciens. Autant dire que vous risquez de devoir passer un petit millénaire* à inventer conjecture sur conjecture avant de sortir quelque chose d'intéressant.

*Ce qui n'est bien sur pas faisable.

En même temps au bout d'un certain temps d'une civilisation, personne n'a le temps d'intégrer dans sa vie ce qui a déjà été fait.. triste sort

[Liet Kynes]

Attention aux mots. Je notais que le mot "conjecture" est utilisé à tort et à travers par les amateurs peu sérieux. Quant à "conjectural" c'est un mot à tout faire. Il veut simplement dire que tu ne sais pas si c'est vrai. Ce qui est habituel pour quelqu'un qui n'apprend pas les techniques mathématiques.
Sans intérêt.

C'est tout l'objet de ce fil: comment fait le professionnel pour dire "c'est une vraie question ?"

[Paraboloide_Hyperbolique]

La question est de savoir si elle les contient tous. La conjecture "plus faible ?" serait de savoir si tous les éléments de N sont présents pour p >1.

Clairement non pour les deux questions. Pour la première: 2 ne peut être de la forme p * 2^n + 1 quelque soit p, entier naturel. Pour la seconde: voir la réponse à la première question.

Oui cela je le sais mais il y a-t-il des cas pour lesquels on sait tout de suite que ce n'est pas nécessaire d'user de cette méthode alors que le problème est de nature conjecturale ?

Oui: par exemple en trouvant un contre-exemple comme ci-dessus.

""existe-t-il des entiers naturels non nuls p tels que la suite des p * 2^n + 1 ne comporte aucun nombre premier"" ces entiers naturels pour être tous listés devrait faire partie d'une suite pour pouvoir répondre à la question posée si il s'agit d'une infinité de suites alors il faudrait aussi leur donner une forme ?

Ok, merci de la clarification. Cette question est déjà plus difficile. Elle revient à dire "existe-t-il des entiers naturels non nuls p tels que la suite des p * 2^n + 1 soit toujours composée ?" ou encore

On peux les interroger sur des questions comme celle-là en utilisant une formulation mathématique ?
Ils sont forcément limités quand même, dans un cadre conjecturale, l'approche permet d'infirmer mais pas de confirmer non ?

Oui, l'outil informatique, bien que très pratique, est forcément limité (il ne peut traiter les cas infinis). Il permet cependant de tester heuristiquement la "solidité" d'un conjecture et de trouver des contre-exemples (s'il y en a).

Il y a cependant des cas, où celui-ci a permis de démontrer des conjectures. le cas le plus célèbre est la démonstration du théorème des 4 couleurs https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...uatre_couleurs

En même temps au bout d'un certain temps d'une civilisation, personne n'a le temps d'intégrer dans sa vie ce qui a déjà été fait.. triste sort

Je dirais plutôt que c'est le signe du dynamisme d'une civilisation. De plus, je n'aimerais pas vivre dans un univers où tout être humain peut tout connaître. Il n'y aurait alors plus rien à apprendre (ce qui est un de mes petits plaisirs) et tout serait d'un ennui mortel.

[gg0]

Comment fait un professionnel pour savoir que c'est une vraie question ? Ben... il est professionnel et connaît les enjeux. Si n'importe qui peut savoir, pas besoin de professionnels.
Encore une fois, si on ne rentre pas dans la discipline, on ne peut pas la comprendre.
C'est ce que tu fais depuis des années, Liet Kines, tu joues avec les mots des maths, tu imites de mieux en mieux de vraies questions, mais tu restes toujours en surface.

[Liet Kynes]

Clairement non pour les deux questions. Pour la première: 2 ne peut être de la forme p * 2^n + 1 quelque soit p, entier naturel. Pour la seconde: voir la réponse à la première question.

Si p=1 et n=0 alors pour p * 2^n + 1 , cela donne 1*2^0+1=2, cela dit je ne sais plus pourquoi j'ai fixé p>1 pour la question de savoir si tous les éléments de N étaient présents, c'est là une erreur où une autre pensée.

[Liet Kynes]

Comment fait un professionnel pour savoir que c'est une vraie question ? Ben... il est professionnel et connaît les enjeux. Si n'importe qui peut savoir, pas besoin de professionnels.
Encore une fois, si on ne rentre pas dans la discipline, on ne peut pas la comprendre.
C'est ce que tu fais depuis des années, Liet Kines, tu joues avec les mots des maths, tu imites de mieux en mieux de vraies questions, mais tu restes toujours en surface.

Cela je n'y peux rien, j'ai déjà expliqué mes limites et franchement cela me gêne. Je peux parfaitement intégrer des raisonnements hyper complexes mais ils ne restent pas, je trouve des trucs et 5 minutes après je ne sais plus les expliquer.. c'est très frustrant.