Calcul de covariances sachant que coef_corre(X,Y) = 1

[fabio123]

Bonjour,

J'essaie de calculer différentes covariances entre une variable aléatoire X, une autre Y et une nouvelle variable définie par le ratio R = X/Y.

X et Y sont des variables aléatoires gaussiennes de moyenne nulle et de variance respectivement

On a l'hypothèse suivante :

, en d'autres termes le coefficient de corrélation est égal à 1.

J'aimerais calculer les covariances suivantes :

1)

2)

3)

Quelqu'un connait-il des propriétés entre et ?

Je m'attends à ce que les covariances 1), 2), 3) soient nulles, mais seule une démonstration rigoureuse
peut confirmer/infirmer ces valeurs nulles.

Merci par avance pour votre aide.
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[fabio123]

Il y a une typo pour la partie 3)

C'est : 3)

[fabio123]

désolé, je me suis trop pressé :

[MissJenny]

si cor(X,Y)=1 alors il existe une constante a telle que X=aY presque sûrement. Alors R=X/Y est presque sûrement constant, donc de variance nulle et donc tu ne peux pas calculer la corrélation entre R et quoi que ce soit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

ce que j'ai écrit plus haut est absolument faux. Je pensais à des variables centrées (de moyenne nulle) mais si ça n'est pas le cas, alors X/Y n'a pas de raisons d'être constant.

[fabio123]

ce que j'ai écrit plus haut est absolument faux. Je pensais à des variables centrées (de moyenne nulle) mais si ça n'est pas le cas, alors X/Y n'a pas de raisons d'être constant.

Mon cas, est un peu plus compliqué : X et Y suivent comme distributions la somme d'une une gaussienne de moyenne nulle et de variance respectivement et et d'une distribution de Poisson.

Je ne pense pas dans ce cas là que c'est une distribution de Cauchy pour laquelle l'espérance et la variance ne sont pas définies.

Pour calculer les covariances et , je pourrais peut-être utiliser le fait que le ratio est constant et ainsi justifier que les 2 covariances et sont nulles car le ratio est assimilé à une constante.

Pour la covariance , idem, la variance serait nulle en approximant.

Je rappelle que ce ratio est considéré comme constant car on a très proche de 1.

Je ne sais si je peux en déduire que le coefficient de corrélation est aussi proche de 1.

Qu'en pensez-vous ?