Composition de séries entières (Sujet ENS Maths C)

[Nini42]

Bonjour,

En refaisant le sujet de maths C tombé cette année aux ENS, je bloque sur la question 10.

Capturee.PNG

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où est l'ensemble des séries entières dont le terme constant est nul et la série telle que pour tout n, .

En effet dans le cas où le rayon de convergence de est strictement positif, on peut utiliser le résultat de la question 9 + le fait que deux séries entières coïncidant sur un disque ouvert non vide sont égales, mais dans le cas où il est nul, je ne vois pas quoi faire.

Au début je me disais que dans ce dernier cas, le rayon de convergence de serait nul aussi, puis j'ai pensé au cas où g est la série de terme général [tex]n! z^n[\tex] si n>0 et 0 si n=0, f sa réciproque et h l'identité. A ce moment là de rayon de convergence +infini... Pourtant le rayon de convergence de est 0, et comme est croissante, celui de aussi.

Donc dans le cas d'un rayon de convergence nul, je ne vois pas par quelle bout prendre la question. J'ai envisagé de le faire de façon bourrine en partant de la définition de , mais déjà exprimer par exemple, je vois pas comment faire... et puis ça me semblerait bizarre d'avoir fait toutes les questions d'avant juste pour ça.

Merci d'avance si quelqu'un a une piste à me suggérer !
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[gg0]

Bonjour.

" au cas où g est la série de terme général si n>0 et 0 si n=0, f sa réciproque "
Qu'est-ce que tu appelles "sa réciproque" ?
Sauf erreur, g n'est définie que pour z=0 par g(0)=0; il y a bien une réciproque, en tant que fonction de {0} dans {0} qui est encore g, et la composée est encore g, un élément de .

Cordialement.

[Nini42]

Désolée, j'ai oublié de préciser ça : on démontre dans la partie suivante l'existence d'une réciproque à chaque série entière : une série entière g telle que pour tout m, avec I l'identité (et on montre que g a un rayon de convergence nul ssi f a un rayon de convergence nul).

[gg0]

Oui, ça correspond bien à ce que j'ai dit, il y a juste ton I qui est bizarre. Comme tu as démontré que est bien la composition habituelle ie , pour g de rayon nul il n'y a que x=0 qui a une image, donc ton I est à définir clairement.
Je n'ai pas vu le reste de la question, mais si g n'a d'image que pour 0, g(0)=0 et f(g(0))=f(0)=0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nini42]

Dans ce cas, on aurait f et g uniquement définies sur {0} mais et (en tant que composition formelle et pas usuelle) définies sur , non ? Parce que le but de la question 10 n'est pas de montrer que mais que , ces deux fonctions pouvant donc être définies pour |z|>0 même si f, g ou h ne l'est/le sont pas.

Je crois avoir trouvé une piste, même si je n'en suis pas sûre (j'ai trouvé beaucoup de "pistes" depuis que j'ai commencé à chercher...) : on note la troncature de f au rang d. Alors on a pour tout , donc .

Or pour tout d, a +infini pour rayon de convergence (puisque les rayons de , et sont +infini) donc .

Ainsi pour tout z de module strictement inférieur au rayon de convergence de , pour tout entier d, , ce qui donne en passant à la limite .

[gg0]

"mais et (en tant que composition formelle et pas usuelle) définies sur , non ?"
Si tu parles en tant que séries formelles, il faut reprendre le travail du départ avec une autre définition, si je lis bien la partie d'énoncé concernée, ce n'était pas des séries formelles, mais des séries entières (donc définies seulement sur leur rayon de convergence). mais je ne connais de l'énoncé que les bouts que tu présentes.
La cohérence avec la définition habituelle de la composition est faite à la question 9, pour |z| strictement inférieur au rayon de convergence. Donc on ne sait rien à ce moment là de ce qui se passe pour un rayon de convergence nul.
Que tu ne traites pas avec ta nouvelle démonstration. Bien inutile, car lorsque les rayons de convergence ne sont pas nuls, la 10 est une application immédiate de la 9 (et de la 6). Par la démonstration habituelle de L1.

[Nini42]

Je joins en image la totalité du sujet + la partie sur les séries réciproques.

énoncé 1.PNG
enonce 2.PNG
série réciproque.PNG

"Si tu parles en tant que séries formelles, il faut reprendre le travail du départ avec une autre définition, si je lis bien la partie d'énoncé concernée, ce n'était pas des séries formelles, mais des séries entières (donc définies seulement sur leur rayon de convergence). mais je ne connais de l'énoncé que les bouts que tu présentes.
La cohérence avec la définition habituelle de la composition est faite à la question 9, pour |z| strictement inférieur au rayon de convergence. Donc on ne sait rien à ce moment là de ce qui se passe pour un rayon de convergence nul."

Je suis désolée, je ne comprends pas ce que tu veux dire par "le travail du départ" .
Quand je parlais de composition formelle, je voulais dire que était définie par les coefficients de la série entière correspondante, et non comme la fonction qui à z associe f(g(z)), donc que peut être définie même si g(z) ne l'est pas.

"Que tu ne traites pas avec ta nouvelle démonstration. Bien inutile, car lorsque les rayons de convergence ne sont pas nuls, la 10 est une application immédiate de la 9 (et de la 6). Par la démonstration habituelle de L1."
La 10 est une application immédiate dans le cas où le rayon de convergence de est non nul, mais ce rayon peut être nul sans que celui de ne le soit (c'est ce que j'espérais montrer avec mon contre-exemple), et c'est ce cas que je traite dans ma démonstration.
Je montre que si le rayon de convergence de est non nul, alors , donc le rayon de n'est pas nul non plus. Et de même si le rayon de n'est pas nul, celui de ne l'est pas non plus.

Ainsi le seul cas qu'il reste à traiter est celui où ces deux rayons sont nuls. Et dans ce cas il suffit de montrer l'égalité pour z=0.

[gg0]

Bon, inutile que je continue, n'importe comment je ne suis pas correcteur du concours ENS.

Bonne chance !