calcul lourd..

[maatty]

Bonjour,
dans le cadre d'un exercice (pour établir les variations d'une suite), je souhaite montrer que l'expression
est positif pour tout n entier supérieur ou égal à 1.
Je sais que c'est bien le cas car j'ai vérifié sur un logiciel. Le truc c'est que cela tend très vite vers 0. Du coup, dès que je tente une minoration en simplifiant l'expression d'une manière ou d'une autre, celle-ci est trop grossière et elle est négative ce qui ne me permet donc pas de conclure. Si quelqu'un voit comment faire, son aide serait bienvenue
Merci
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[gg0]

Bonjour.

C'est presque immédiat si tu vois que le numérateur de ta première fraction est une identité remarquable qui se simplifie fortement puis que


Cordialement.

[maatty]

Bonsoir et merci pour votre réactivité mais le numérateur n'est pas une identité remarquable (n-1)dans une racine , (n+1) dans l'autre, ou bien s'agit il d'une autre identité remarquable?

[gg0]

Ah oui, j'ai lu trop vite !

Mais l'identité va servir : On multiplie haut et bas dans la première fraction (c'est la seule qu'on transforme) par (technique classique de la quantité conjuguée) et on développe ensuite le dénominateur. On obtient moins une fraction, ce que je note -A. A est une fraction positive. Il faut majorer A, donc majorer son numérateur (facile, par ) et minorer son dénominateur en remplaçant par ; et la suite est facile.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Bonsoir,

il suffit de tout mettre au même dénominateur puis de bricoler un peu pour faire apparaître des fragments clairement positifs du type et

[maatty]

Merci pour vos réponses à tous les deux.

[maatty]

Bonsoir, à tous deux, j'ai eu le temps de reprendre vos méthodes mais j'arrive dans les deux cas à des résultats ne permettant pas de conclure (ou différents)
Ggo: si je ne m'abuse en appliquant les majorations/minorations que vous recommandez, j'arrive après simplification à, le problème est que cette fraction est négative et ne permet pas de conclure.
jackniklaus: la réduction au même dénominateur me donne un numérateur différent du votre:
dont le deuxième terme est négatif..
A moins que j'ai fais une erreur ou mal compris vos explications.
Cordialement

[gg0]

Effectivement, je suis allé un peu vite en besogne.

En fait, pas de majoration, simplement après la quantité conjuguée, réduire au même dénominateur . Le signe vient tout seul en développant le numérateur.

Cordialement.

NB : En réutilisant l'astuce de la quantité conjuguée, on a facilement un ordre de grandeur de cette quantité de la forme .

[maatty]

Bonsoir , mais alors le numérateur est . j'ai développé cela et essayé de regrouper mais je ne vois pas l'astuce...vraiment désolé

[gg0]

Non, pas (n+1). Il y a déjà sa racine dans le dénominateur ...

[maatty]

Oui effectivement, je fatigue. Merci encore pour votre patience, la fin est en effet rapide.

[gg0]

On fait tous des erreurs ! Et vu que j'en corrigeais une, j'ai fait très attention.

Bonne soirée !

[jacknicklaus]

on garde le numérateur seul pour alléger le Latex