calcul matriciel en économétrie

[bokcho]

Bien le Bonjour à vous,
je suis en master de statistique et je suis confronté à un petit soucis dans mon cours d'économétrie qui n'est rien d'autre qu'un cours d'inférence statistique mais porté sur le calcul matriciel (donc un gros cours de mathématique matriciel).
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comme vous pouvez le voir dans cet énoncé je suis face à une multiplication de matrice. Je vous explique le contexte pour que ça soit plus simple, ensuite j'expliquerai mon raisonnement pour arriver à la partie où je bloque.
1) Capture d’écran 2022-10-18 à 10.11.54.png
on définit la covariance pour commencer, ensuite dans l'exercice (la proposition 19) on définit une matrice A et on nous dit qu'en effectuant le produit matriciel on retombe sur la formule de la covariance défini au préalable. C'est ce que j'ai compris de l'énoncé
2) concernant mon calcul, j'ai d'abord commencer par calculer cette matrice A, pour commencer j'ai effectué le calcul avec les (1,...,1) qui donne une matrice carré de dimension nxn avec uniquement des "1" dedans, puis j'ai tout divisé par -n et j'y ai ajouté la matrice identité. Donc la matrice A n'est rien d'autre qu'une matrice carré de dimension nxn avec que des -1/n et une diagonale composé de -2/n.
Ensuite j'ai posé la multiplication entre v'Aw, et j'arrive sur une matrice de dimension 1x1 (un scalaire) de la forme suivante: w1(2v1+...+vn)+...+wn(v1+...+2 vn)
3) lorsque je tombe sur ce scalaire, je sais que je suis face à une somme, et que de là je peux essayer de la travailler pour retomber sur la formule de la covariance mais pour le coup j'ai essayé de plusieurs manière différente mais je n'arrive pas à retomber sur la réponse.
Et c'est pourquoi je vous demande votre aide s'il vous plait. Je ne sais pas si il y une petite subtilité dans la somme pour tomber sur la réponse, ou bien simplement que je me trompe depuis le début.
En l'attente de votre aide, je vous remercie déjà d'avance pour les réponses
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[gg0]

Bonjour.

Tu te trompes sur ta matrice A, la diagonale est composée de 1-1/n, ce qui ne fait pas -2/n. Ce qui fait que tu ne peux pas tomber sur la bonne réponse.
Mon conseil : essaie au brouillon les calculs (produit matriciel et covariance) pour n=2 puis n=3, tu verras mieux ce qui se passe.

Cordialement.

[bokcho]

Effectivement je me suis trompé dans la matrice A, j'ai effectué le calcul pour une 2x2 comme vous me l'avez suggéré et après avoir effectué le calcul j'obtiens v1w1(n-1)/n^2 - v2w1/n^2 - v1w2/n^2 + w2v1(n-1)/n^2

j'ai fait pareil pour une 3x3

mais dans le cas général je comprend bien que j'obtiens une matrice 1x1 (un scalaire) qui compose une sorte de somme mais je ne vois pas comment l'arranger pour retomber sur cette fameuse covariance défini au début

[gg0]

Heu ... tu sembles oublier que n=2 ! Et as-tu vérifié que ça donne la covariance ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[bokcho]

je ne pense pas avoir compris ce que vous essayez de me dire avec n=2 et n=3. Car j'ai essayé et je n'arrive pas à retomber sur la covariance. Pourriez vous s'il vous plait directement me montrer ce que vous essayez de me faire calculer pour savoir comment arrivé à cette covariance ?

[gg0]

Qu'obtiens-tu dans le cas n=2 pour le calcul de la covariance, et pour le calcul avec la matrice ?
Il est un peu tard pour moi, je regarderai demain ce que tu as trouvé.