limite de fonction, recherche d'un cas pathologique :P

[kite4life]

Bonjour à tous,

Mes années prépas commencent à dater un peu (entré en 2001 ) mais je me souviens bien lorsqu'on m'a appris la définition précise de ce que signifie qu'une fonction tend vers un nombre lorsque x tend vers l'infinie.

On peut trouver la définition ici par exemple :
http://mathix.org/linux/wp-content/u.../Expose-63.pdf

Dans la définition on considère ε >0 avec une inégalité stricte.

Mon professeur de math de l'époque avait alors insisté sur l'inégalité stricte, en précisant qu'il existe des fonctions qui ne répondraient pas à la définition s'il s'agissait d'une inégalité large mais qui y répondent avec une inégalité stricte....

Je me souviens qu'il avait alors dit que ces fonctions étaient "à la limite du cas pathologique" ; une expression qui m'a marqué, je m'en souviens 20 ans plus tard

Depuis j'ai appris qu'il existe en mathématique des "objets pathologiques", et je comprends mieux son expression.

Bref, je dois dire que cela dépasse mon intuition. Je ne comprends pas comment une fonction peut répondre à la définition avec une inégalité stricte mais pas large...
Intuitivement j’aurais dit qu’il n’y a probablement pas de différence.
Quelqu'un connait-il un exemple de ces fameux cas pathologiques ?

Question subsidiaire : y avait-il un quelconque intérêt à choisir une inégalité stricte plutôt que large pour la définition ?

C'est juste de la curiosité, mais voilà.
Merci
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[gg0]

Bonjour.

Avec la définition avec \leq, on doit pouvoir prendre \epsilon=0, ce qui fait que seules les fonctions ultimement nulles pourraient avoir une limite finie. Donc pas de problème de fonction pathologique, juste une définition malade.

Cordialement.

NB : Je réponds sans avoir lu ta référence, elle est sur un site mal protégé.

[gg0]

J'avais envoyé trop vite :

Bonjour.

Avec la définition avec , on doit pouvoir prendre , ce qui fait que seules les fonctions ultimement nulles pourraient avoir une limite finie. Donc pas de problème de fonction pathologique, juste une définition malade.

Cordialement.

NB : Je réponds sans avoir lu ta référence, elle est sur un site mal protégé.