Topologie de la droite réelle

[Littlenerd]

Bonjour,
J'espère que vous allez bien,
Peut-on admettre que tout x appartenant à l'ensemble de Q est un point d'accumulation de R ? Et que la réciproque est fausse ? Merci d'avance.
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[MissJenny]

Et même un point de condensation. On peut certes l'admettre mais c'est mieux de le démontrer.

[Littlenerd]

Merci beaucoup ! Évidemment, mais je cherchais surtout à savoir si c'était correct déjà. ^^

[pm42]

Peut-on admettre que tout x appartenant à l'ensemble de Q est un point d'accumulation de R ? Et que la réciproque est fausse ?

En fait, tout x appartenant à Q est un point d'accumulation de Q donc de R.
Par contre, qu'est ce que tu entends par réciproque ? Tout point de R peut être approché autant que possible par des éléments de Q.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Littlenerd]

En fait, tout x appartenant à Q est un point d'accumulation de Q donc de R.

Bonjour, merci d'avoir répondu. Comment ça, "de Q donc de R."? Je ne suis pas sûre d'avoir saisis votre conclusion.
Et ce que j'entends par réciproque c'est que tout réel est un point d'accumulation de Q. (Je ne suis pas d'accord avec cette affirmation, je voulais savoir si j'avais tort ^^)

[pm42]

Bonjour, merci d'avoir répondu. Comment ça, "de Q donc de R."?

Les éléments de Q sont dans R. Si je veux approcher un élément de Q autant que possible, je prend x + 1/10^n avec n assez grand.
Donc x est un point d'accumulation dans Q puisque x est rationnel et donc x + 1/10^n est rationnel aussi.
Mais vu que x+1/10^n est aussi dans R, x est un point d'accumulation de R également.

Et ce que j'entends par réciproque c'est que tout réel est un point d'accumulation de Q. (Je ne suis pas d'accord avec cette affirmation, je voulais savoir si j'avais tort ^^)

Vous avez tord. Tout point x de R peut être approché autant qu'on veut par un rationnel. On prend le développement décimal de x, on se limite aux n premiers chiffres qui est un rationnel et ça marche.

[Littlenerd]

Je ne suis pas sûre de comprendre. Je suis débutante en topologie et la définition qu'on a vue en cours de point d'accumulation c'est, je cite, "x est un point d'accumulation d'un ensemble, si l'intersection de tout voisinage de x avec l'ensemble, est au moins un point, en plus de x" donc ce que vous dites m'est flou, je suis navrée.

[MissJenny]

Tout point x de R peut être approché autant qu'on veut par un rationnel. On prend le développement décimal de x, on se limite aux n premiers chiffres qui est un rationnel et ça marche.

mais ça je me demande si ça n'est pas un raisonnement circulaire. Pour montrer que tout réel a un développement décimal on est bien amené à construire une suite de rationnels convergeant vers ce réel, il me semble.

[pm42]

mais ça je me demande si ça n'est pas un raisonnement circulaire. Pour montrer que tout réel a un développement décimal on est bien amené à construire une suite de rationnels convergeant vers ce réel, il me semble.

Tout dépend de comment on construit R, de ce qu'il a comme théorème à sa disposition, etc.
Mais si on a construit une suite de rationnels convergeant vers ce réel, on l'utilise pour montrer qu'il est point d'accumulation de Q et tout va bien.
Il n'y a rien de circulaire là dedans.