Bonjour, je suis bloqué sur une petite question depuis un bout de temps, je vous prie de m'éclairer dessus. Voici la question :
Étant donnée A € Mn(R) inversible. On suppose que A admet une décomposition de Cholesky. On définit pour chaque ligne i€{1,...n} le profil de A comme étant l'entier : ji = min{ j € {1,...,n} tel que (Aij) ≠ 0 }.
Montrer que la décomposition de Cholesky conserve le profil c'est à dire que le profil de L' est le même que celui de A.
Merci d'avance
bonjour, qu'appelles-tu L' ? je suppose que c'est la matrice triangulaire inférieure (qu'on appelle usuellement L) ?
Oui, il s'agit de la matrice triangulaire inférieure qui, multipliée par sa transposée donne A
Si A=LL', dans le calcul du terme Aij de la matrice n'interviennent que les éléments Lik et Lkj pour k <= min(i,j). Tu vois donc que le profil de L doit être inférieur au profil de A. Pour l'autre inégalité il faut utiliser le fait que A est symétrique et donc que P(A)=P(A') si P(M) désigne le profil d'une matrice M.
Vous notez A' la transposée de A ? Donc le fait de A soit symétrique permet de conclure ?
