Intervalles et convexes

[eliptic000]

Bonsoir tout le monde, je me demandais si quelqu'un pouvait m'aider dans un exo de topo:
1.Montrer que la somme de deux intervalles est un intervalle. (du genre {a+b/ a dans I1 , b dans I2}
2-Montrer qu'une intersection quelconque d'intervalles est un intervalle. (J'ai procédé par absurde en supposant que l'intersection n'était pas convexe)
-Montrer que pour toute partie non vide A de R , il existe un plus petit intervalle I contenant A . (je suppose [inf A , sup A] = diamA ?)
-Définir les bornes de I à partir des éléments de A
3-Qu'en est-il de la réunion
-Soit A une partie de R et a appartient à A, Définir le plus grand intervalle inclus dans A contant a.
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[gg0]

Bonjour.

Bien sûr qu'on peut t'aider, mais on ne va pas faire un corrigé de ton exercice (c'est le rôle de ton prof).
Donc il faut que tu précises correctement ce que tu as fait, question par question, et où tu bloques. Je reprécise ton énoncé :
1.Montrer que la somme de deux intervalles est un intervalle. (I1+I2= {a+b/ a dans I1 , b dans I2})
2.
a - Montrer qu'une intersection quelconque d'intervalles est un intervalle.
b - Montrer que pour toute partie non vide A de R , il existe un plus petit intervalle I contenant A .
c - Définir les bornes de I à partir des éléments de A
3
a - Qu'en est-il de la réunion ?
b - Soit A une partie de R et a appartenant à A, Définir le plus grand intervalle inclus dans A contenant a.

Pour l'instant, les deux choses que tu as dites sur ce que tu as fait sont peu utiles.
"J'ai procédé par absurde en supposant que l'intersection n'était pas convexe". Il n'est pas nécessaire de procéder par l'absurde, la démonstration directe suffit.
"je suppose [inf A , sup A] = diamA ?" ?? aucun intérêt, et même [inf A , sup A] n'existe généralement pas (A= Z, par exemple).

Bon travail personnel et à bientôt !

[eliptic000]

Pour 1- , je suis totalement bloqué, j'essaie d'appliquer la définition d'un convexe, donc je prends deux élément a+b , a'+b' et j'essaie de montrer que tout élément dans [a+b,a'+b'] appartient à E={a+b...},
Pour 2-a , la preuve directe m'a parue compliquée à rédiger donc j'ai procédé par absurde en supposant que l'intersection n'était pas convexe, donc au moins l'un des intervalles dont on étudie l'intersection n'est pas convexe.
Pour 2-b ,encore une fois la preuve directe me parait compliquée, si on suppose par absurde qu'il existe un intervalle inclus dans ]supA,infA[ et qui contient tout les éléments de A, on l'appelera ]x,y[, donc en utilisant la caractérisation de la borne sup et inf, il existe deux élément u,v de I tel que y<u<=supA , et infA<=v<x ce qui absurde puisque ]x,y[ contient tout les éléments de I.
Pour 2-c , disjonction des cas je suppose ? si A non minoré : ]-inf,supA[] , si A non majoré ][infA,+inf[ , etc...
3-aLa réunion de deux intervalles n'est pas forcément un intervalle, ]-1,0[U]0,1[.
3-b A une partie non vide de R, elle admet un plus petit intervalle contant A, donc je suppose que c'est le plus grand intervalle inclus dans A contenant a ?

Bref je suis bloqué, la topologie me parait tellement difficile..

[albanxiii]

Bonjour,

Pouvez-vous scanner votre brouillon et le poster ?

Pour la première question, il serait utile que nous sachions comment vous définissez la somme de deux intervalles, par exemple. Et ensuite, ce que vous essayez de montrer, précisément.
Parce que là, vous êtes tellement vague qu'il n'est pas possible de vous aider efficacement. On peut toujours vous donner une solution, mais ça ne serait pas vous rendre service.
La topologie demande un peu d'habitude, c'est normal, et c'est en pratiquant qu'on l’acquiert.

[A voir en vidéo sur Futura]

[eliptic000]

Non malheureusement je ne peux pas, je n'ai que mon ordi en ce moment, sinon pour la somme de deux intervalles comme je l'ai déjà écrit, c'est E={a+b / a∈I1 , b∈I2}, et j'essaie de montrer que E est un intervalle en utilisant la définition de la convexité puisque les intervalles de R sont les convexes de R, je prends deux éléments de E et j'essaie de montrer que tout élément compris entre ces deux éléments appartient à E.

[gg0]

Pour le 1, si tu as fait un dessin, avec des exemples simples pour illustrer, par exemple [0,1[ et ]3,5[, tu as vu ce qui se passe.
Pour le 2 a), si tu as montré "A inter B n'est pas un intervalle" implique " A ou B n'est pas un intervalle", tu as montré la contraposée de ce que tu veux démontrer, reste juste à finir; ce n'est pas une preuve par l'absurde. Mais sérieusement, ça me semble bien plus compliqué que la preuve directe. Écris ta preuve, je rédigerai la mienne en retour.

Pour le 2 b), tu utilises sans précaution les sup et inf. Que sont pour toi sup(N) ? Inf(Q) ? (N les entiers, Q les rationnels). Par contre, ce que tu rédiges est du flan, ne parle même pas de la question. Si tu veux faire une preuve "par l'absurde", il te faut partir de la négation de "pour toute partie non vide A de R , il existe un plus petit intervalle I contenant A". Peux-tu écrire cette négation ? (ce n'est pas "il existe un intervalle inclus dans ]supA,infA[ et qui contient tout les éléments de A,").
Laissons la 2-c pour après la résolution de la question précédente. Mais tu y es plus raisonnable qu'avant.

3 a) OK
3 b) Ce que tu racontes montre que tu n'as pas réfléchi ! Ni même pensé en écrivant ! Relis-toi, tu verras que ça n'a pas de sens, ça ne parle même pas de a, et on ne sait pas d'où sort ce "plus petit intervalle".

Allez ! C'est difficile, mais justement, ça demande de vraiment réfléchir à ce qu'on écrit, et de prouver ses affirmations. Au besoin, prends des exemples différents, regarde ce que ça donne.

Cordialement.

[gg0]

Allez ... pour le 1, pense à a'+b.