Minimum d'une intégrale par un produit scalaire

[scorpion05]

Salut !

Voici mon exo : On cherche le minimum en fonction de a et b de

J'ai fait les questions préliminaires montrant qu'on a un sev et que l'application (u,v) -> intégrale allant de 0 à 1 de u(t)*v(t) définit un produit scalaire. On a aussi défini les fonctions f, g et h respectivement sin(3t), t et 1.

j'ai d'abord trouvé par le projeté et l'orthonormalisation de Graam-Schmidt, maintenant je dois "interpréter géométriquement" .Voici la question :

Justifier que le minimum demandé est réalisé pour (a,b) tel que h et g soient orthogonaux à f - ah - bg. Calculer (a,b) et conclure.

quelqu'un peut m'aiguiller svp ? je vois que ça correspond au produit scalaire <f-ah-bg,f-ah-bg> et que ça correspond encore à la norme au carré mais je ne vois pas pourquoi cette orthogonalité de h et g

merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Les deux vecteurs (*) g et h définissent un plan vectoriel, dont les éléments s'écrivent a.h + b.g.
(sin(3t)-(ah+bg))²=(sin(3t)-a-bt)² est le carré de la distance de f à ce plan vectoriel, distance qui sera minimale si ah+bg est le projeté de f sur le plan.

Cordialement.

(*) on est dans un espace vectoriel de fonctions, donc les fonctions sont ici des vecteurs