Théorème des accroissements finis

[Mirette93]

Bonjour,

Je souhaiterais être éclairée à propos d'une application qui fait intervenir l'égalité des accroissements finis.
Je dois encadrer ln/x-1 continue sur ]1,2]

ln x est dérivable sur ]1;2[
On sait qu'il existe c appartenant à ]a;b[ où a=1 et b =2 tel que f(b)-f(a)/x-a = f'(c). Donc en appliquant le théorème des accroissements finis, avec f'(x)= 1/x, afin d'encadrer f'(c) et donc le rapport lnx/x-1, obtient-on des inégalités strictes ?
C'est à dire qu'on aurait,
Pour le cas de ln(x)-ln(1)/x-1 = f'(c) , sachant que ln x est dérivable sur ]1,3[ c appartient à ]1;3[ (intervalle ouvert), alors f'(c) appartient à ]1/2;1/1[ ( intervalle ouvert aussi ? )
Je demande cela car dans la question il nous donne un modèle d'encadrement avec des inégalités non strictes, telle que m<=lnx/x-1<=M.
Par ailleurs, pourquoi l'intervalle devient fermé lorsqu'on passe de la fonction f continue sur ]1;2] à la fonction dérivable, est-ce parce que c doit nécessairement être entre a et b où y a t'il une autre raison ? Pourquoi ne serait elle pas dérivable sur ]1;2] plutôt que sur ]1;2[.

Merci
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[gg0]

Bonjour.

"Je dois encadrer ln/x-1 continue sur ]1,2]" ???
Il s'agit peut-être de ln(x)/x auquel on soustrait 1. Mais vu le manque de soin dans l'écriture, ça pourrait être ln(x)/(x-1). Et vu ce que tu écris ensuite ("f(b)-f(a)/x-a = f'(c)", "ln(x)-ln(1)/x-1" ) je parie sur la deuxième forme. C'est quand même inquiétant d'être en terminale et de ne pas connaître les règles d'écriture des expressions mathématiques (cours de sixième et cinquième).

Quant à ce que tu racontes ensuite, je ne vois pas le rapport avec un encadrement de ln(x)/(x-1). L'égalité des accroissements finis ne donne pas d'inégalité !! Et il y a même une partie incompréhensible ("Par ailleurs, pourquoi l'intervalle devient fermé lorsqu'on passe de la fonction f continue sur ]1;2] à la fonction dérivable"), tu fais probablement référence à un calcul qu'on n'a pas.

Donc reprends le travail proprement. Expose clairement ce que tu fais. S'agit-il d'un exercice ? D'un exemple du cours ? Quelle est la fonction à encadrer ? Veut-on vraiment utiliser l'égalité, pas l'inégalité des accroissements finis ? Si oui, quel est le théorème précis et complet que tu as ? etc.

Cordialement.

NB : Tu peux utiliser un scan ou une photo en pièce jointe.

[Mirette93]

Bonsoir

Il s'agissait d'un exercice où il est demandé d'encadrer lnx/(x-1) effectivement. Je suis désolée pour la faute de frappe.
Je me perds un peu entre l'égalité des accroissements finis et l'inégalité des accroissements finis car ce n'est pas préciser dans l'énoncé. Je me demande ce qu'il faut utiliser.

Voici l'énoncé :

Donner le meilleur encadrement de ln(x)/x−1 sur l'intervalle ]1;2] qu'on puisse obtenir en utilisant la formule des accroissements finis (sans essayer d'être plus malin).

Entrez vos résultats sous la forme [m,M] où m et M sont les réels vérifiant : m≤ln(x)/x−1≤M

Merci.

[gg0]

Tu oublies encore systématiquement les parenthèses !! Un peu de sérieux, que diable !

Tu veux des inégalités, il semble raisonnable d'utiliser un théorème qui donne des inégalités. Lequel ? (écris-le, je ne connais pas ton cours)

[A voir en vidéo sur Futura]