Existence d'un polynome

[annamillie]

Combien existe-t-il de nombres k∈Z tels qu'il existe un polynôme P∈Z[x] avec
P(0)=2, P(10)=22 et P(k)=12 ?

Puis-je avoir un indice, afin d'essayer de trouver la solution ?
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[MissJenny]

message annulé

[Resartus]

Bonjour,
La première étape est de trouver la constante...
Ensuite, le polynome restant (qui est un multiple de X) doit valoir 20 pour X=10. Sachant que ses coefficients sont entiers, cela ne laisse pas beaucoup de possibiiités (rappel 10^2 vaut 100)
Et vous aurez votre réponse

[annamillie]

Dans la question, on cherche cb il y a de valeurs de k...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui c'est bien ce que dit Resartus. Fais le travail qu'il t'a conseillé.

Cordialement.

[Médiat]

cela ne laisse pas beaucoup de possibilités

Une petite infinité.

Un exemple (pas le plus basique)

[Médiat]

Je précise qu'il est facile de trouver tous les polynômes qui conviennent.

[MissJenny]

Une petite infinité.

j'ai pensé ça aussi de prime abord

Un exemple (pas le plus basique)

mais celui-là ne convient pas. Il prend la valeur 22 pour X=10.

[Médiat]

mais celui-là ne convient pas. Il prend la valeur 22 pour X=10.

C'est bien l'énoncé, non ?

[MissJenny]

ah ben oui. Je sais plus lire...

[Resartus]

Bonjour,

En effet, j'avais fait une énorme erreur de raisonnement...

Pour continuer sur ce qu'a dit mediat, le polynôme est donc de la forme 2X+2+X*(x-10)*Q(X).
l'équation pour P(x)=12 devient (x-10)(2+x*q(x))=-10
Et on teste les diviseurs de 10 pour conclure

[annamillie]

Ah oui je vois... Merci !