Ensemble quotient

[phedra60]

Bonjour bonjour !
Tout d'abord, désolé si cette question a déjà été abordée. J'ai fait un tour assez rapide, sans trouver.
Mais ma question étant liée à une formulation de mon prof, il y a des chances qu'il n'y ait aucune réponse déjà donnée
A noter que mes notions les plus avancées sont celles du bac S ( il y a fort loooongtemps ), en dehors de celle que je suis en train d'apprendre ce semestre.

Bref, contexte de la question :
je pense avoir compris que l'ensemble quotient, c'est l'ensemble des classes d'un ensemble, une classe étant un ensemble d'éléments ( ou de sous-ensembles !) liés entre eux par une même relation. Autrement dit, l'ensemble des éléments de E répartis en classes. Et, je n'en suis pas encore sûr pour l'instant, mais on parlerait ici uniquement de relations d'équivalences.

Par contre, la formulation dans mon cours est tortueuse :

Etant donnée une relation d'équivalence R sur un ensemble E, l'ensemble quotient de E par la relation R, noté E/R est le sous-ensemble de P(E) (ensemble des parties de E) des classes d'équivalences.

Pourquoi la formulation n'est elle pas :
Etant donnée une relation d'équivalence R sur un ensemble E, l'ensemble quotient de E par la relation R, noté E/R est l'ensemble des classes d'équivalences selon R ( ou "pour R" ? ).
la formulation de mon professeur doit apporter une précision, mais je ne vois pas laquelle, je suis largué par "sous-ensemble de P(E) (ensemble des parties de E) des classes d'équivalences".

Et j'ai du mal à détailler plus ce que je ne comprends pas, à l'écrit ça semble compliqué ^^'
Bref, est-ce que vous sauriez m'expliquer, SVP, la précision ajoutée par mon prof, ou bien reformuler en gardant cette même précision ?
Dans tous les cas, demain soir j'ai cours avec lui, donc je pourrai lui demander, mais j'aime bien déblayer avant, ça me permet d'être moins dans le brouillard, et d'être plus réactif et attentif, tout ça tout ça.
Au-delà de 17h00 ce vendredi 11/11, ne vous embêtez donc plus à répondre, je reviendrai après le cours vous dire si c'est réglé xD

Merci d'avance !
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[Médiat]

Cette précision permet de dire où vit cet ensemble quotient, d'ailleurs, j'aurais été jusqu'au bout de l'idée en disant que l'ensemble quotient est un élément de P(P(E)). Mais votre compréhension est bien suffisante

[GBZM]

Bonsoir,

Autrement dit : toute classe d'équivalence pour est un élément de .

[phedra60]

Bonjour !
Comme c'est férié, en fait je n'ai pas cours ^^
Merci pour vos réponses
Bon, en en discutant avec un ami ingénieur-chercheur et en lisant vos réponses, j'ai mis le doigt sur "l'élément perturbateur" de cette définition : P(E).
J'ai orienté mes recherches dessus, et il s'avère que j'avais mal interprété ce que c'était.
Pour moi, cela représentait une "forme de classification" ( un peu comme les espèces du règne animal qui sont regroupés en mammifères, oiseaux, poissons et reptiles ), autrement dit un ensemble de sous-ensembles répartis suivant UNE relation.
Mais en fait, c'est l'ensemble de tous les sous-ensembles possibles de E, un élément de E pouvant apparaitre dans plusieurs de ces sous-ensembles, c'est bien ça ?
Du coup forcément, l'ensemble quotient est le sous-ensemble de P(E), sous-ensemble qui est formé par l'ensemble des classes d'équivalence de relation R.

J'ai bon, j'ai bon ?

Sacré gymnastique que d'essayer de simplifier en français de telles notions mathématiques ^^'

[A voir en vidéo sur Futura]

[phedra60]

Ha, alors je viens de voir des choses comme "P(P(E))" dans les discussions relatives à la notre
Cela signifie-t-il qu'il y a une notion de niveau, de "focale" pour P(E) ?
Autrement dit, sur une classification d'élément hiérarchisable par exemple, P(E) ne serait que les sous-ensembles situés directement sous l'ensemble E ?
Par ex :
dans une entreprise, on peut regrouper les personnes par services. Cela serait le premier niveau, donc P(E).
Maintenant, dans chaque service, il y a un disons un directeur, un gestionnaire de projet, un assistant de direction... Ce serait un sous-ensemble de P(P(E)) et non un nouveau sous-ensemble de P(E) ?

Merci d'avance pour vos réponses
edit : remplacement de strictement hiérarchique par hiérarchisable

[gg0]

Bonsoir.

C'est à la fois différent et plus simple. Prenons un exemple :
E={a, b, c}
P(E) ={E, {a, b}, {b, c}, {c, a},{a},{b}, {c}, {}}
Les éléments de P(E) sont les parties de E, les sous-ensembles de E.
P(P(E)) ={P(E),...}
je ne lis te pas, il y a tous les sous-ensembles de P(E). Un ensemble de parties de E est un élément de P(P(E)).

Cordialement.

[phedra60]

Bonsoir gg0,
merci !
C'est effectivement plus simple, il fallait revenir à la définition de P(E) sous sa forme mathématique la plus simple ^^'
Pour ensuite appliquer cette formulation en intégrant P(E) comme élément ... Ca coulait de source, va falloir que j'aie ce réflexe
Par contre, se représenter ça autrement qu'en formule, c'est plus compliqué. J'y arrive je crois, mais ce n'est pas encore intuitif ^^
Mais c'est une autre histoire à raconter, bous avez répondu à ma question le sujet est clos, merci beaucoup !
Et merci à Mediat qui avait déjà introduit P(P(E)) , mais j'étais trop largué pour ciomprendre

Cordialement,

[phedra60]

Pour ensuite appliquer cette formulation en intégrant P(E) comme élément ...

Euh, comme nouvel ensemble plutôt ( ** se met des baffes *** xD )

Allez, sujet clos !

[MissJenny]

dans une entreprise, on peut regrouper les personnes par services. Cela serait le premier niveau, donc P(E).

Là tu penses à P(E) comme à une partition de l'ensemble E, or il s'agit de toutes ​les parties de E.

[stefjm]

C'est à la fois différent et plus simple. Prenons un exemple :
E={a, b, c}
P(E) ={E, {a, b}, {b, c}, {c, a},{a},{b}, {c}, {}}

@phedra60

Et le cardial de P(E) est égal à 2^(le cardinal de E), un bon moyen mnémotechnique pour ne pas "oublier" E et {}.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemb...%27un_ensemble

[phedra60]

Là tu penses à P(E) comme à une partition de l'ensemble E, or il s'agit de toutes ​les parties de E.

Bonjour MissJenny,
j'avais compris, mais effectivement, je n'ai pas précisé sur mon exemple que j'observais une partie de P(E) pour tenter de construire un exemple concret. Observer toutes les parties d'un ensemble pour un exemple me semble un peu compliqué ^^'
Pour le moment en tout cas !
Bye