Résolution EDP avec séparation de vraiable

[PepperDoc]

Bonjour !

Dans mon TD on résout l'équation de Laplace par séparation de variables. On a comme condition initiales :


On arrive à la résolution de l'EDO en r suivante :
Et on nous dit dans la correction que pour n entier, les solutions sont forcément sous la forme :
Je ne comprends pas pourquoi on peut dire cela ^^

Merci d'avance pour vos réponses !
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[ThM55]

Bonsoir.

Après séparation des variables, j'obtiens une autre équation:
.

Une méthode qui me semble fonctionner consiste à développer la fonction R en série de puissances de r:



En substituant ce développement dans l'équation, on obtient une série de terme général . Chacun de ces termes devant être nul, ce n'est possible que si un seul des est non nul, celui pour lequel m = n. Je dirais donc que .

[ThM55]

Petite imprécision, j'ai oublié la puissance de r, dans le terme général de la série: .