Polynôme et forme bilinéaire

[joq35]

Bonsoir à tous,

Je suis en train de bosser sur un exo, et j'ai un doute dès l'énoncé. Avant de me lancer dans des calculs, voici le début de l'exo.

Soit n un entier naturel. On considère Rn[X] l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieur ou égal à n.
Considérons la forme bilinéaire phi définie par : phi(P,Q) est égal au coefficient de degré n du produit des polynômes P et Q.

J'ai du mal à représenter cette forme bilinéaire.
Si on note :
P = Somme (i = 0 à n) de a(i) * X^i
Q = Somme (i = 0 à n) de b(i) * X^i

Donc PQ = Somme (i = 0 à n) (a(i) + b(i) * X^i)

Mais que représente pour vous la forme bilinéaire phi ?

Merci pour votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

Ton "PQ = Somme (i = 0 à n) (a(i) + b(i) * X^i)" est totalement faux !! Aurais-tu confondu avec "P + Q = Somme (i = 0 à n) ((a(i) + b(i)) * X^i)
Essaie avec n=2, P(X)=1+X, Q(X)=1+x². combien vaut phi(P,Q) ? Généralisation avec P(X)=a+bX+cX² et Q(X)= d+eX+fX² : PQ(X)= ... phi(P,Q) = ...

Cordialement.

NB : ce que je te propose est classique : Quand on a du mal à comprendre on prend un exemple simple.

[joq35]

Oulà oui effectivement j'étais sur la somme.
Pour le produit, il faut multiplier chaque terme de l'un par chaque terme de l'autre.

PQ = somme (pour i,j entre 1 et n) de a(i) * b(j) * x^(i+j)

Donc phi(P,Q) = somme de a(i) * b(j) (pour i+j=n)

Si je n'ai pas fait d'erreurs ...

[gg0]

Oui, ou bien phi(P,Q) = somme de a(i) * b(n-j) (pour i de 0 à n)

[A voir en vidéo sur Futura]