suite et stabilité

[Easyjet]

bonjour,

Soit (u_n) telle que u_n=f(n).
Je souhaite montrer qu'à partir d'un certain rang N, une suite u_n est strictement positive. Ce que j'ai fait, c'est que j'ai trouvé un entier N strictement positif pour lequel u_N >0. Puis, pour s'assurer que tous les entiers n>=N, u_n>0, j'ai montré que l'intervalle [N, +infini[ est stable par la fonction f associée à (u_n). Comme ça, par stabilité de cet intervalle par f, et bien tous les u_n seront dans cet intervalle. C'est bon ou pas ? Car en général on utilise la stabilité pour les suites récurrentes d'ordre 1. Merci.
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[MissJenny]

tu as démontré une propriété plus forte, à savoir qu'à partir du rang N on avait un>=N

[gg0]

Heu ... si u_N<N, on ne sait rien de u_(N+1).
En fait, c'est la stabilité de [u_N,+oo[ qui peut servir. Par exemple pour prouver par récurrence que pour tout p, u_{N+p}>=u_N>0.

Cordialement.

[MissJenny]

u_(N+1) = f(N+1) si j'ai bien compris.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui, mais l'intervalle proposé par Easyjet était [N,+oo[.

[MissJenny]

est-ce que tu ne confonds pas avec la situation où u_{n+1} = f(u_n} ? Ici on a simplement u_n = f(n)

[gg0]

Ah, effectivement !

Mais alors, il n'était même pas nécessaire de trouver ce N (*). Si un intervalle [a,+oo[ avec a>0 est stable par f, alors tous les termes d'indices supérieurs à a sont positifs.
Et ça semble plus compliqué que de prouver directement qu'ils sont positifs (étude de la fonction, si elle n'est pas très simple).

Cordialement.

(*) ce qui ne suffit pas, rien n'assure que [N,+oo[ sera stable. Ce n'est jamais le cas avec f(n)=n-1.