Singularités - Analyse Complexe

[MatZb]

Bonjour à tous et bonne année 2023!

J'ai un exercice à résoudre pour mon cours d'analyse complexe, mais j'ai du mal avec ce que je pense être une singularité essentielle...

Voici l'exercice:

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Soit la fonction complexe définie par

Calculer les intégrales suivantes:

(a) où --> C est défini par

(b) où --> C est défini par

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Pour moi, on a une singularité essentielle en z_0=0 et pour calculer ces intégrales par la formule des résidus, il faut passer par les séries de Laurent mais je ne sais pas comment m'y prendre...
J'ai quand même remarqué la ressemblance entre les chemins \gamma_1 (un cercle de centre i, de rayon 2, parcouru une fois dans le sens trigonométrique) et \gamma_2 (un cercle de centre -i, de rayon 4, parcouru 3 fois dans le sens anti-trigonométrique). Dès lors je pensais qu'une fois la première intégrale calculée, le résultat de la deuxième serait -3 fois le résultat de la première?

Merci d'avance pour votre aide.
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[GBZM]

Bonjour, ton , c'est ou ?

[MatZb]

Bonjour, c'est .

[jacknicklaus]

Bonjour,

Pour moi, on a une singularité essentielle en z_0=0 et pour calculer ces intégrales par la formule des résidus, il faut passer par les séries de Laurent mais je ne sais pas comment m'y prendre....

Pourquoi ne pas écrire exp(1/z²) sous forme de série, et voir ce qui se passe avec l'expression z.exp(1/z²) ? SIngularité essentielle ou pas, le résidu reste le coefficient du terme en z^(-1) de la série.

Idem avec l'autre morceau de la fonction: exp(z)/z².

[A voir en vidéo sur Futura]

[MatZb]

Ah d'accord, je ne connaissais pas cette propriété là... Merci!

[jacknicklaus]

C'est tout à fait intéressant de connaître la raison profonde derrière ce résultat qui est tout sauf une astuce de calcul

voir ici par exemple https://www.imo.universite-paris-sac...plications.pdf, notamment pour les conditions d'applications.

[MatZb]

Un grand merci !!