Un peu d'analyse complexe

[Garf]

Bonjour,

J'aurais deux petites questions à soumettre, centrées sur de l'analyse complexe (et encore). Rien de très compliqué.

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Problème numéro 1 : trouver des fonctions à croissance très lente.

Il est relativement simple de trouver des fonction définie sur , et qui croissent plus lentement que n'importe quelle itérée de la fonction logarithme. Par exemple, on peut construire une fonction affine par morceaux à partir des itérée du logarithme, on prendre des inverses généralisés de suite à croissance très rapide. Pour corser un peu la situation, je cherche des fonctions :
* définies à valeur dans ;
* croissantes ;
* asymptotiquement négligeables devant n'importe quelle itérée du logarithme (bonus si on dispose d'une construction plus générale) ;
* analytiques.

La difficulté vient de la dernière condition. Mon idée est de construire des fonctions à croissance très rapide, et de prendre leur inverse. Pour cela, on cherche des fonctions de la forme :

,

où est une fonction strictement positive et tendant vers 0 en l'infini (afin d'avoir un rayon de convergence infini). Pour la fonction exponentielle, on a par exemple . Intuitivement, plus décroît lentement, plus la fonction croît vite.

Pour construire une suite convenable, je prends ma suite à croissance très rapide préférée (fonction d'Ackermann, voire castor affairé). Je prends ensuite pour l'inverse généralisé de la suite choisie. croît vers , donc décroît vers . De là, j'obtiens une fonction à croissance très rapide, donc je peux ensuite prendre l'inverse (et éventuellement bidouiller pour qu'elle soit définie sur ) pour résoudre mon problème.

Question :
* Y a-t-il plus simple (quitte à utiliser un théorème marteau) ?
* Comment montrer rigoureusement que ma méthode marche (ou pas), c'est-à-dire, comment passer d'un contrôle sur à un contrôle sur ?

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Problème numéro 2 : une opération sur les fonctions analytiques.

Soit un ouvert simplement connexe contenant . je note l'ensemble des fonctions analytiques sur et nulles en 0.

Soient deux fonctions et dans . Je pose :





Je définis l'opération suivante :



On peut voir que l'opération est commutative, et munit d'une structure d'algèbre associative. La fonction identité est le neutre. Elle paraît avoir des propriété sympathiques, se rapprochant parfois de la composition de deux fonctions.

Question : est-ce que cette opération a un nom ?

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Merci d'avance !
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[Arkhnor]

Bonjour.

Je ne comprends pas, dans la question 2, le développement en série de ne va converger que dans un disque centré en 0, rien n'assure qu'il converge sur tout le domaine U, ni qu'on peut prolonger cette fonction sur U tout entier.

Dans le cas où U est un disque (de rayon 1, mettons) centré en 0, il faut prouver que le rayon de convergence de la 3ème série est supérieur à 1, sachant que ceux des deux premières le sont.

[Garf]

My mistake. L'opération est plutôt définie sur l'espace des fonctions analytique définies sur un voisinage ouvert simplement connexe de , et nulles en .

Si je note le rayon de convergence du développement en série entière de en , alors on a :



On le démontre exactement de la même façon que pour le produit de Cauchy.

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Remarque : l'opération permet de faire des choses assez marrantes au niveau des pôles de fonctions. Par exemple, on a, pour tout et toute fonction dans :



En particulier, si a des pôles, alors a " fois plus de pôles". L'opération aurait-elle tendance à multiplier les pôles ? Eh bien, je pose pour tout premier (je note l'ensemble des nombres premiers) :



On montre que, quelque soit , la fonction est définie sur le disque ouvert centré en et de rayon . Cependant, elle fait n'importe quoi sur le cercle de rayon : elle ne converge pas sur presque tout point de ce cercle (cela découle du théorème central limite).

Maintenant, on peut calculer :



et il n'y a plus qu'un seul pôle en ...

[Garf]

Erratum : dans mon message précédent, remplacer par .

Il me semble que toutes les propriétés intéressantes peuvent se voir en travaillant dans le simplexe des fonction de dont la dérivée en vaut , et éventuellement en se restreignant aux séries dont le rayon de convergence vaut au moins . Un lien avec un espace de mesures de probas* ?


* Je sais, je suis monomaniaque.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkhnor]

En clair, tu travailles avec l'espace des séries formelles convergentes, de terme constant nul. (ou des germes de fonctions analytiques en 0, nulles en 0)

Pour faire intervenir un "produit infini" avec ta nouvelle loi de compositions, il faut introduire une topologie. Tu prends laquelle ?

(pour le côté monomaniaque, pas de souci, je pense qu'on a les mêmes centres d'intérêts, à ceci près que je suis loin derrière toi )

[Arkhnor]

On le démontre exactement de la même façon que pour le produit de Cauchy.

Pour le produit de Cauchy, j'utilise le fait que le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge vers le produit. Je ne vois pas a priori comment généraliser ce résultat à ton truc, mais je vais m'instruire de mon côté pour voir s'il existe une preuve directe du rayon de convergence.

Sinon, tu dis que a "n fois plus de pôles que f". Mais pour moi ça ne correspond pas vraiment à une propriété de "multiplicativité des pôles", propriété que tu cherches à mettre en défaut avec ton exemple, où tu considères des fonctions qui ont beaucoup de pôles* et donc le "produit" n'en a plus qu'un.

* Ce ne sont pas vraiment des pôles, ni même des singularités isolées. Juste des points singuliers sur le cercle de convergence.

A part ça, tu dis que la série de est divergente presque partout sur le cercle unité. Comment on peut le déduire du TLC ? (juste une idée de la preuve)
Ca semble très voisin du théorème des séries lacunaires de Hadamard. On peut établir un lien entre les deux ?

[Garf]

Merci pour les commentaires. Alors, dans l'ordre :


* Je travaille avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

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* Concernant le calcul du rayon de convergence : je me suis planté. Tout se passe bien si on considère des rayons de convergence inférieurs ou égaux à . Tout se passe mal ensuite (il y a une "petite" différence avec le cas des produit de Cauchy dont je ne m'étais pas aperçu).

voilà un petite preuve.

Soient et dans . Je note , et de même pour .

Soit un nombre complexe tel que et . Alors il existe et tels que et . Par conséquent, on a :



et la somme converge absolument.

La formule correcte est donc .

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* Au passage, on dispose de la formule (quand elle fait sens) :



ce qui est une autre façon de se rendre compte que les choses se passent mal si . Je propose que, dans la suite, on suppose toujours que le rayon de convergence est d'au moins .

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* Le théorème des séries lacunaire de Hadamard marche tout à fait. Je n'y avait simplement pas pensé

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* Pour le TCL : je note la fonction identité, et la fonction . Alors on a :



La fonction est de moyenne nulle, et la transformation est (conjuguée à) une transformation -adique, ou un décalage de Bernouilli, comme tu préfères. On dispose donc d'un TCL, ce qui signifie entre autres qu'asymptotiquement, la loi de (on met la mesure de Lebesgue sur le cercle) est une gaussienne. Bref, est d'ordre .

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* Enfin, ce que je voulais dire dans mon message précédent est que, si on prend des exemples simples, a priori l'opération a tendance à compliquer ce qu'il se passe sur le cercle unité ("multiplication des pôles", par exemple, mais on doit pouvoir trouver des exemples simples où on utilise l'opération sur deux fonctions qui n'ont chacune qu'un pôle sur le cercle, et où l'on se retrouve avec des singularités sur tout le disque unité). Et pourtant, on trouve aussi des exemples où tous les problèmes disparaissent miraculeusement... De mémoire (j'y ai pensé distraitement il y a plus ou moins un an, et je viens à peine de le ressortir par curiosité) l'hypothèse de Riemann correspond justement à un cas où une telle simplification apparaît, ce qui permet d'augmenter le rayon de convergence d'une certaine série - mais j'ai pu me planter sur ce coup.

[Arkhnor]

Est-ce qu'on peut appliquer le TCL directement pour des observables à valeurs complexes ? Si oui, comment calcule-t-on la variance asymptotique ?
J'ai fait le calcul à partir de la formule où on somme les auto-corrélations en supposant qu'elle était valable, et je trouve 0, ce qui me parait suspect.
On doit utiliser une version vectorielle du TCL ?

Sinon, en admettant ce point, j'ai du mal à en déduire que l'ensemble des points où la série diverge est de mesure nulle. Mais je dois passer à côté de quelque chose d'évident, je regarderai ça demain ...

Pour finir, le théorème d'Hadamard ne nous donne pas la divergence sur le cercle unité, il prouve seulement que tous les points du cercle unité sont singuliers (c'est-à-dire qu'on ne peut prolonger la fonction somme sur aucun ouvert strictement plus grand que le disque unité ouvert), ce qui n'a pratiquement aucun rapport avec la convergence de la série de Taylor en 0 sur le cercle.
Mais les deux résultats se complètent bien.

[Arkhnor]

Bon, en appliquant le TLC à ou , ça devrait aller. Je regarderai ça ...

[Arkhnor]

En tout cas, la littérature à propos des domaines de convergence des séries lacunaires est extrêmement dense et fournie.
On peut trouver une preuve élémentaire de ton résultat pour des séries lacunaires quelconques dans le livre de A. Zygmund "Trigonometric series", au chapitre V, paragraphe 6.

[Arkhnor]

Je ne vois définitivement pas comment déduire ton résultat du TCL, mais avec la loi du logarithme itéré, ça passe sans problème. Je pense que on peut fermer cette parenthèse et revenir à la discussion initiale.

[Garf]

Euh, personnellement, je vois très bien comment faire avec le TCL, mais avec la loi du logarithme itéré, non (on a besoin d'une borne inf sur la croissance, pas d'une borne sup)

J'explique vite fait mon idée. Je n'ai jamais entendu parler de gaussienne complexe ; ici, il faut voir comme un espace vectoriel réel de dimension 2, et utiliser un TCL multi-dimensionnel. la seule mesure avec laquelle je travaille est la mesure de Lebesgue normalisée sur le cercle. On montre, sous réserve de supposer que je n'ai pas fait d'erreur, que :



où est une gaussienne centrée de matrice de covariance identité et où la limite est prise en loi. Je passe sur le calcul de la matrice de covariance, c'est une application simple de formules qui n'ont rien de trivial (ja rappelle qu'on ne travaille pas avec de bêtes suites de variables i.i.d. - il faut plutôt voir ça comme des martingales inverses, et encore, c'est parce qu'on a de la chance).

A partir de là, il existe une fonction de dans (obtenue à partir de la fonction erf) telle que :



et :



En particulier, pour tout , on a :



et donc pour presque tout point du cercle unité, il existe une infinité d'entiers tels que - ce qui implique que la série diverge en si on prend .

Au passage, il existe malgré tout une partie dense (et non dénombrable, je crois) du cercle sur laquelle la série reste bornée. Mais en fait, je ne sais même pas pourquoi on parle de ça, vu que la série ne peut de toutes façon pas converger sur le cercle, et je ne suis pas sûr que le comportement des sommes tronquées en un point nous apprenne grand chose sur le comportement de la fonction au voisinage de ce point

En tous cas, merci pour la référence. J'irai y jeter un coup d'oeil à la fin du mois (si j'y pense encore).

Voilà, fin de la parenthèse !

[Arkhnor]

vu que la série ne peut de toutes façon pas converger sur le cercle

Je n'en suis pas tout à fait certain. En tout cas, ce n'est pas ce que dit le théorème d'Hadamard.

Concernant mon idée avec la LLI, je me suis ramené au cas réel. Il suffit de considérer des séries trigonométriques sur
Si on prouve que les sommes partielles de cette série ne sont pas bornées pour presque tout , on a gagné.

Sauf erreur, on doit disposer ici pour la suite de v.a. d'un CLT et d'une LLI, avec moyenne nulle, et variance asymptotique égale à . (en fait, j'en suis sur, puisque c'est valable pour des séries lacunaires quelconques d'après Zygmund, mais dans notre cas particulier, ça doit découler des propriétés analogues du shift, ou des applications dilatantes par morceaux sur l'intervalle, en appliquant ton idée avec )

(le calcul de la variance pour l'observable est donnée par , le calcul étant pour le cosinus élementaire)

Je note .
D'après la LLI, pour presque tout , on a
En particulier, pour ces valeurs de , n'est pas bornée, puisqu'elle possède une sous-suite équivalente à .

J'ai fait une erreur ? Je lirai ta preuve demain.

Si on parle de ça, c'est car tu as mentionné la preuve de la divergence sur le cercle par le TLC, et que ça m'a intrigué. Mais c'est effectivement un peu hors-sujet.

PS : cette option automatique de non-recentrage vertical du Latex est vraiment moche ...

[Garf]

Ah, j'avais bêtement oublié que la LIL n'était pas qu'une borne sup. Honte à moi. Donc, pour résumer :

* Oui, on dispose d'une LIL en plus du CLT pour ces séries. Il me semble qu'on peut le montrer en voyant les séries comme des martingales inverses (je n'en suis pas certain : je ne sais pas sous quelles conditions une LIL existe pour des martingales), ou pire en revenant aux bases et en couplant le processus avec une marche aléatoire (ça, je suis certain que ça marche). De toutes façons, avec une transformation pareille et une observable pareille, tout marche. Mais il faut quand même faire attention : les LIL sont quand même plus coriaces à obtenir que les CLT, pour lesquels on peut passer par la transformée de Fourier.

* Je ne connaissais pas l'expression de la variance sous cette forme-là (c'est-à-dire, en sommant sur et non sur ). C'est pratique, pour la mémoriser.

* Pour faire le lien entre la croissance des séries en un point et le comportement de la fonction au voisinage de ce point : ça me rappelle ce post. A creuser (même si regarder dans un bouquin sur les séries lacunaires serait plus rapide - je n'ai pas accès à la biblio en ce moment).

* Au passage, j'ignorais que l'inégalité de Paley-Zygmund avait été inventée pour traiter ce genre de problème. Amusant.

[Médiat]

Bonjour,

Je note .

PS : cette option automatique de non-recentrage vertical du Latex est vraiment moche ...

Par exemple :
.

La police par défaut n'est pas terrible, mais c'est centré verticalement.

[Arkhnor]

Merci Médiat pour l'astuce. Je n'avais pas pensé à tout écrire en Latex. Je ferai l'essai.

Garf, quand tu parles de martingales, tu fais référence à des théorèmes du style Gordin/Liverani ?
Moi, pour démontrer le CTL ici, je passe par les propriétés de trou spectral, où on perturbe l'opérateur de transfert pour récupérer la fonction caractéristique, comme c'est fait par exemple dans le livre d'Hennion et Hervé.

Sinon, effectivement, la LLI est beaucoup plus dure à obtenir que le CTL. Mais ici, on doit disposer d'un principe d'invariance presque sure, en appliquant par exemple les résultats de Hofbauer-Keller : théorème 5 http://smtp.qmc.ufsc.br/~azeredo/2007-1/Pasta%20/pesquisa%20com%20artur/artigos/ultimos%20abril%202008/Hoff%20and%20Keller%20Ergodic% 20Propert.pdf (ou encore, le récent article de Gouëzel http://perso.univ-rennes1.fr/sebasti...ectralasip.pdf)
Et il est bien connu que le principe d'invariance entraine la LLI. (et le CLT)

Mais pour une application aussi simple que , c'est peut-être sortir l'artillerie lourde pour rien. J'ignore s'il y a plus élémentaire. (la LLI a quand même du être étudiée pour les mesures de Gibbs, non ? ...)

Le bouquin de Zygmund est en aperçu sur Google books, c'est comme ça que j'ai pu relever la référence sur la divergence presque sure, le CLT et la LLI. Sinon, il y a toujours l'option de trouver le fichier DjVu sur le net. On peut aussi trouver certains vieux articles de Zygmund, Kahane, Erdös et autres sur le net.

[Garf]

Yep, je pensais bien à des méthodes du type Gordin-Liverani. Ici, ça marche sans forcer, vu que est une martingale inverse. Après, comme je l'ai dit, je ne me souviens plus s'il existe des théorèmes génériques pour montrer des LIL pour des martingales, mais c'est très probable. Je ne vois pas de route plus simple pour l'instant.

De toutes façons, tout marche : théorèmes pour des application dilatantes de l'intervalle, résultats bourrins du type principe d'invariance presque sûr...

Sinon, on se connaît ? Il n'y a quand même pas énormément de monde capable de ressortir des trucs pareils* à notre âge, tout de même...


* voir apparaître un article de mon directeur de thèse m'a un peu étonné.

** Merci Médiat pour la rustine.

[Arkhnor]

Je ne pense pas qu'on se connaisse, je ne commence ma thèse qu'en Septembre, je n'ai pas eu l'occasion de bouger hors de la région de Marseille-Toulon pour l'instant.
Mais on aura peut-être l'occasion de se connaître bientôt.

Tu n'étais pas à la conférence sur les grandes déviations à Marseille, en Juillet ?

(si tu veux plus d'infos, tu peux m'envoyer un MP)