Deuxième formule de la moyenne

[annamillie]

Bonjour,

Je souhaite démontrer la 2e propriété trouvée sur ce site: https://www.bibmath.net/dico/index.p.../fmoyenne.html

Soient f,g deux fonctions continues de [a,b] dans R, avec f positive et décroissante. Alors :
∃c∈[a,b],∫( de a à b ) f(x)g(x)dx=f(a)∫ ( de a à c ) g(x)dx.

Je n'ai pas trop d'idées, quelqu'un pourrait il me donner une piste / méthode éventuelle ?

Merci pour votre aide !
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[jacknicklaus]

Bonjour,

le théorème des valeurs intermédiaires?

voir ce qui ce passe avec c = a (trop court!) et aussi avec c = b (trop long!) ...

[annamillie]

non non pas le th. des valeurs intermédiaires ...

[gg0]

Pourquoi non ? La fonction

définie sur [a,b] est continue et prend toutes les valeurs entre h(a) = ? et h(b)= ? à comparer à
.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

mais il faut commencer par démontrer la continuité de h

[gg0]

Bonjour MissJenny.

Dans le cadre du document cité, c'est élémentaire, l'intégrale dépendant de sa borne supérieure étant une primitive. J'en étais resté à ce niveau. Pour d'autres définitions de l'intégrale, ça peut être plus délicat.

Cordialement.