calcul differentiel : exercice

[itslunyitsluny]

Bonsoir,
Je ne sais pas comment commencer cet exo,veuillez m'expliquer en details comment trouver le resultat demandé:

Merci
(la fonction est C infini et c'est f(x,t) non f(x) c'est une erreur de frappe)
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[GBZM]

Bonjour,
Ne penses-tu pas que la récurrence sur n s'impose ?

[itslunyitsluny]

Bonjour,
Effectivement ca marche bien,mais j'ai encore des difficultés concernant quelques notions de bases ( la notation de leibniz et la regle de cauchy)

-Pour le premier cas (l initialisation),on utilise le faite que f est C infini et donc on peut permuter les deux dérivées partielles,mais déjà je vois quand je passe à l ecriture en rouge,c'est comme si je dérive une fonction multipliée par une constante x puis je l 'évalue en (x,t),est ce qu'il y a un problème de notation ou quoi ?
-Pour le deuxième cas je ne sais pas comment justifier le fait que les dérivées partielles sont C2 (est ce qu'il suffit de dire que f est C infini donc meme chose pour les dérivées partielles car elles existent est continues pour tout ordre?)
Merci.

[GBZM]

On peut en fait initialiser avec , c'est plus simple (je ne vois pas pourquoi l'énoncé se limite à ).

Une fonction a, par définition, toutes ses dérivées partielles .

[A voir en vidéo sur Futura]

[itslunyitsluny]

Ce que j'ai ecrit en rouge est correct ? (Au niveau de la notation car ca ressemble à une derivation d un produit d une constante x par une fonction f)

[GBZM]

La dérivée par rapport à de la fonction en est la dérivée de la fonction en .
Oui, on dérive à constant (égal à ).