Singularités - Analyse Complexe

[MatZb]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice concernant des singularités à résoudre mais je n'y arrive pas...
Auriez-vous des pistes pour sa résolution svp ?

Voici l'exercice:

-----------------

On considère la fonction complexe définie par:



(a) Déterminer l'ensemble des singularités de f.
(b) Pour chaque singularité de f, déterminer le type de la singularité ainsi que le résidu de f en la singularité.
(c) Discuter de la valeur de l'intégrale

en fonction du chemin gamma, où gamma est un cercle de centre 0 et de rayon n (un naturel non-nul), parcouru une fois.

-----------------

Pour le point (a) j'ai trouvé qu'on a une singularité quand z=0 ou quand
Pour le point (b) je ne vois pas vraiment comment procéder...
Pour le point (c) j'aurais dit qu'il faut regarder quelles singularités se retrouvent à l'intérieur du chemin en fonction de n car ce seront les seules qui "contribueront" au calcul de l'intégrale par la formule des résidus.

D'avance merci pour votre aide.
-----

[gg0]

Bonjour.

L'analyse complexe c'est trop loin dans ma mémoire (et j'en ai fait trop peu) pour que je puisse t'aider finement. Mais pour le b), à ta place, je regarderais dans le cours, les types de singularité, puis j'appliquerais à 0 d'abord (les deux facteurs s'annulent), puis aux autres.

Cordialement.

[MatZb]

D'accord, je vais essayer comme ça, merci!

[jacknicklaus]

Bonjour,

Le point b) est du cours. reprends le cours. Tu y trouveras, mieux détaillé, les 3 types de singularités, disons au point z = a :
- singularité effaçable : si la fonction f(z) admet un prolongement continu en a. Par exemple sin(x)/x en zéro qui se prolonge avec f(0) = 1
- singularité de type pôle : s'il existe un n tel que (z-a)ⁿ.f(z) tends vers un limite finie non nulle en a. Exemple f(z) = z/(z-1) au point z = 1
- singularité essentielle : c'est tout le reste. Exemple : exp(1/z) en zéro

en ce qui concerne la valeur du résidu, je te renvoie au cours, le cas le plus simple étant le résidu d'un pôle d'ordre 1 en a :



et pour un pôle d'ordre 2 :



Sans jamais perdre de vue le point le plus important : le résidu, dans tous les cas, est le coefficient de z^-1 dans le développement de f en série de Laurent au point a . C'est fréquemment la méthode la plus efficace... j'dis çà; j'dis rien..

Dans cet exercice, tu trouveras des pôles d'ordre 1 et d'ordre 2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MatZb]

Merci beaucoup ! Je vais regarder de ce côté-là !