Variables aléatoires de Bernoulli.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Soit .
Soit une matrice aléatoire de taille , dont les coefficients sont des variables aléatoires de Bernoulli i.i.d. ( i.e : chaque coefficient vaut avec probabilité ). Le but du problème est d'estimer avec le déterminant de la matrice .

Ma question est de savoir si on peut trouver une relation de récurrence reliant et pour tout ?

Merci d'avance.
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[MissJenny]

intuitivement je dirais que cette probabilité décroît rapidement avec n (puisque les colonnes d'une telle matrice sont un sous-ensemble de l'ensemble des sommets d'un hypercube, et que le déterminant est nul si l'un de ces sommets est dans l'espace engendré par les autres, et qu'en dimension n il y a 2^n sommets, donc que ceux de la matrice sont de plus en plus rares).

[Anonyme007]

intuitivement je dirais que cette probabilité décroît rapidement avec n (puisque les colonnes d'une telle matrice sont un sous-ensemble de l'ensemble des sommets d'un hypercube, et que le déterminant est nul si l'un de ces sommets est dans l'espace engendré par les autres, et qu'en dimension n il y a 2^n sommets, donc que ceux de la matrice sont de plus en plus rares).

Merci pour ces précisions MissJenny.
Je n'ai pas compris pourquoi les colonnes de sont un sous-ensemble de l'ensemble des sommets d'un hypercube. Peux tu détailler un peu plus ce propos ?

Merci d'avance.

[jacknicklaus]

Bonjour,

une simulation informatique donne les valeurs approchées suivantes :

n = 2  ->  P = 0.500
n = 3  ->  P = 0.624 
n = 4  ->  P = 0.660 
n = 5  ->  P = 0.655 
n = 6  ->  P = 0.63 
n = 7  ->  P = 0.57 
n = 8  ->  P = 0.53

La probabilité la plus haute serait pour n = 4.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

ah donc ça ne décroît pas si vite que ça...

sinon pour la question de relier le cas n+1 au cas n je ne pense pas que ça soit évident, mais il y a peut-être moyen de relier le cas m+n aux cas m et n, via le produit de Kronecker, puisque le produit de Kronecker de deux matrices en -1 et 1 est encore une matrice en -1 et 1, et qu'on a Det(AxB)=Det(A)Det(B) pour le produit de Kronecker.