Développements Limités

[aissmhn]

Bonjour, je bloque sur une question d'un exercice de maths.
On a une fonction g(x)=(arcsin(x))²
Précédemment, on a montré que arcsinus(x)=x+((1/2)*(1/3)*x^3)+((3/8)*(1/5)*x^5)+o(x^6)
De plus, on a aussi montré que (1-x²)g''(x)=2+x*g'(x). (E)
On pose désormais g''(x)=a+bx+cx²+o(x²)
On cherche un DL à l'ordre 3 en 0 de g'(x), puis on le reporte dans (E) et on détermine a,b,c trois réels.
Je sais que g'(x)=2arcsin(x)/sqrt(1-x²), je connais le DL du numérateur et du dénominateur mais mes résultats me donne 2x+(4/3)*x^3+o(x^3) ce que je trouve incohérent.
Pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?
Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Pourquoi incohérent ? On a bien g'(x)=2x+(4/3)*x^3+o(x^3) .

Cordialement.

[aissmhn]

Je trouve cela incohérent car quand je ré-injecte dans (E) j'ai (1-x²)(a+bx+cx²+o(x²))=2+2x+(4/3)x^4+o(x^5)
Ce qui donne que b=0, que a=2 et que c=-4/3, or, (-a)-c devrait être égal à 2 mais cela donne -10/3 donc il n'y a pas de solutions.
Je suis totalement dubitatif devant ces résultats.

[GBZM]

Bonsoir,

Tu te trompes. Déjà il y a une petite erreur : ce n'est pas mais , mais de toutes façons tout ça est mangé par le .
Ensuite, ça ne donne pas : quel est le coeffcient de à droite ? Reprends tes calculs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[aissmhn]

Je reprend ce que je sais, j'ai (1-x²)g''(x)=2+xg'(x) ce qui donne (1-x²)(a+bx+cx²+o(x²))=2+x(2x+(4/3)x^3+o(x^4))
on a donc a+bx+cx²-ax²-bx^3-cx^4=2+2x²+(4/3)x^4+o(x^5) (j'ai mis o(x^5) car x*o(x^4)=x^5*o(1), du moins je crois que c'est ça).
Ainsi on a donc a=2 car 2 est le seul réel puis pour b, on voit qu'on a aucun x^3 ni x dans le membre de droite donc b vaut 0 et puis le seul coefficient de x^4 est -c, donc -c=4/3 càd c=-4/3, je ne vois pas du tout où ai-je fait une erreur, je ne vois pas comment b n'est pas égal à 0 ici.
Et puis les résultats de a et c sont incohérents aussi

[gg0]

Tu ne soulèves ici aucune incohérence : Au contraire, b=0 est obtenu 2 fois, ce qui est au contraire cohérent. Le problème principal est que "a+bx+cx²-ax²-bx^3-cx^4=2+2x²+(4/3)x^4+o(x^5)" parce que tu oublies le o(x²)
La bonne égalité est a+bx+cx²-ax²-bx^3-cx^4+o(x²)=2+2x²+(4/3)x^4+o(x^5).
Et donc, tu considères, dans cette égalité de DL, que tout ce qui est négligeable par rapport à x² est à négliger. Par unicité du DL d'ordre 2 (*), on a donc : a+bx+(c-a)x²=2+2x²

Et on tombe sur le bon DL à l'ordre 2 de f".

Attention, les DL ne sont pas des polynômes, mais une somme polynôme + o(x^n) qu'on ne peut pas comparer si l'ordre, n, est différent.

Cordialement.

(*) si P(x)+o(x²)=Q(x)+o(x²) pour tout x, alors P=Q.

[GBZM]

Au temps pour moi, je m'étais embrouillé dans les calculs.
gg0 t'a déjà expliqué la source de tes problèmes, que j'avais déjà évoqué en écrivant "mais de toutes façons tout ça est magé par le " : ce mange tout ce qui est de degré en .
Une petite remarque : est paire, donc est impaire et paire. Il n'y a que des puissances paires de dans la partie régulière du développement limité de à l'origine.
Je compléterais :
(*) si P(x)+o(x²)=Q(x)+o(x²) pour tout x et si P et Q sont des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, alors P=Q.

[gg0]

Merci de la rectification, j'avais trop en tête la forme DL.

Cordialement.