Equation d'Einstein et tenseurs

[pachacamac]

Bonjour,

A propos de l'équation d' Einstein quand un regarde le développement du tenseur métrique (Gmunu) on voit que celui -ci peut d’écrire sous la forme d'un tableau (d'une matrice 4X4 ).
Pour les autres tenseurs de l'équation (tenseur de la courbure, tenseur matière/energie ) je crois savoir qu'on peut aussi les d'écrire avec leurs coefficients placés dans des matrices 4X4 )

D'où ma question basique :

Pourrais t'on m'expliquer " de manière simple" la où les différences entre une matrice et un tenseur ?

Y a t'il des opérations " principales" tels que produit scalaire ou autre dans le monde des tenseur ?

Merci


N.B. J'ai hésite à poster ce message dans le forum de mathématiques mais je craignais que celui-ci commence par un truc genre : un tenseur est une forme multilinéaire..
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[Deedee81]

Salut,

J'ai quand même déplacé en math car ta question est en réalité strictement mathématique.

[Deedee81]

Une matrice est un simple tableau de nombres (avec des règles d'usage pour les additions, multiplications...)

Un tenseur est une généralisation de la notion de vecteur. Pour un physicien je trouve la manière des les introduire dans :
"Le calcul tensoriel en physique - Jean Hladik"
extrêmement claire et parlante.

Le lien entre les deux est :
les matrices sont aux tenseurs
ce que
les multiplets de nombres sont aux vecteurs
(les coordonnées dans une base donnée)

Oui il y a un produit scalaire (enfin, des produits scalaires, on peut en définir une infinité) : un tenseur étant aussi un vecteur, on retrouve avec les tenseurs tout ce qui existe avec les vecteurs.
On trouve aussi avec les tenseurs des choses comme la contraction ou le produit contracté, qui là n'existe pas pour les vecteurs.

N'hésite pas à poser d'autres questions. Mais si tu veux approfondir tes connaissances sur les vecteurs/tenseurs, ce que j'ai dû faire aussi, je ne peux que te conseiller le livre ci-dessus.

[jacknicklaus]

Pourrais t'on m'expliquer " de manière simple" la où les différences entre une matrice et un tenseur ?

Pour faire court, une matrice c'est un tenseur de valence (1,1). Mais il existe toutes sortes d'autres valences :

Pas d'échappatoire : il faut en passer par les formes multilinéaires, et la notion de valence(u,v). Un tenseur de valence (u,v) c'est tout bêtement une machine qui mange u covecteurs et v vecteurs. (covecteur = forme linéaire = application linéaire qui associe un réel à un vecteur), et qui recrache un réel.

quelques exemples:
- valence (0,0) : c'est un réel, une constante
- valence(1,0) : c'est un vecteur. Un vecteur, ca mange 1 covecteur pour donner un réel. Comme quand on calcule un produit scalaire
- valence (0,1) : une forme linéaire. Ca mange un vecteur pour donner un réel.
- valence (1,1) ; ca mange un vecteur et un covecteur pour donner un réel. Pour tout vecteur v, l'application T(v) qui associe à un covecteur w le réel T(w,v) est une forme linéaire sur l'espace vectoriel des covecteurs, c'est donc un vecteur. De sorte que le tenseur T peut être compris comme une machine qui, à un vecteur v, associe un autre vecteur T(v). Une telle machine est simplement une application linéaire, une matrice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pachacamac]

Merci pour ces métaphores culinéaires qui m'aident à progresser.

J'ai trouvé un bon cours sur le calcul tensoriel mais c'est un peu (trop) difficile pour moi.

[ThM55]

Je trouve ce dernier un peu "overkill" pour le physicien. Une introduction super rapide et sans doute la plus concise est celle de Dirac: https://books.google.be/books?id=qkW...tivity&f=false .

Cela suppose qu'on connaît déjà la relativité restreinte exprimée en formalisme 4-dimensionnel (Minkowski). Mais pas de connaissance supplémentaire. Dirac était réputé pour sa concision, ce livre en est un exemple. Il ne définit pas ce qu'est un tenseur mais on le découvre en les utilisant.

[pachacamac]

Merci ThM55, dommage que sur books.google il n'y a que quelques pages de ce livre de disponibles. Je préfère trouver des sources gratuites sur le web plutôt que d'acheter un bouquin. Je vais donc aussi utiliser le cours de Gourgoulhon qui détaille bien les choses mais qui reste très compliqué pour moi.

Aussi, va falloir que je reprenne aussi des bases mathématiques beaucoup plus simples car en relisant le texte de jacknicklaus une grosse interrogation a surgit dans mon esprit. Que ce soit pour le produit scalaire qui à partir de deux vecteurs donne un nombre réel ( un scalaire) ou pour "Un tenseur de valence (u,v) c'est tout bêtement une machine qui mange u covecteurs et v vecteurs. (covecteur = forme linéaire = application linéaire qui associe un réel à un vecteur), et qui recrache un réel."

Je me demande comment un réel peut contenir de l'information pertinente sur deux vecteurs.( on pourrait obtenir le même nombre réel à partir de vecteur différents) et pourtant je crois savoir que le produit scalaire à beaucoup d'applications...

[gg0]

Bonsoir.

Le produit scalaire ne contient pas de l'information sur chacun des deux vecteurs, mais éventuellement sur un lien entre eux. Par exemple s'il est nul, les vecteurs sont orthogonaux.

Cordialement.

[stefjm]

Je me demande comment un réel peut contenir de l'information pertinente sur deux vecteurs.( on pourrait obtenir le même nombre réel à partir de vecteur différents) et pourtant je crois savoir que le produit scalaire à beaucoup d'applications...

Une exemple en physique : Le travail d'une force est donné par le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement.
Ce travail dépend de l'angle entre les deux vecteurs (nul si orthogonalité comme signalé par gg0), mais aussi du produit de la norme de chacun des deux vecteurs.
D'ailleurs, la norme d'un vecteur peut se définir à partir du produit scalaire (norme euclidienne).

[mach3]

Un ancien fil sur le sujet :
https://forums.futura-sciences.com/m...e-tenseur.html

Si la fin derrière la question est bien l'étude de la RG, je suggère Gravitation de Misner Wheeler & Thorne, qui explique bien pas mal de choses nécessaires en RG sur le calcul tensoriel dans ses premières sections. De temps à autre il est consultable sur internet.

m@ch3

[pachacamac]

Merci pour vos explications. Je pense que je vais en rester aux produits scalaires de vecteurs et admettre après avoir lu les différents liens (et les liens dans les liens) que le calcul tensoriel est hors de ma portée. Probablement que pour moi vouloir comprendre ces calculs c'est comme si je me fixais comme objectif de gravir les Grandes Jorasses.

je vais quand même essayer de temps en temps en bataillant ligne par ligne d'avancer un peu dans les deux documents cités plus haut.

[jacknicklaus]

il y a une très bonne source avec les cours en ligne de Richard Taillet. celui sur la RG comporte une revue des bases notamment des tenseurs, en partant d'un niveau L1. Probablement chercher dans les toutes premières vidéos.

[ThM55]

Mieux: https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019

C'est Sean Carroll qui a généreusement mis en ligne ses notes de cours de relativité générale, qui avaient servi pour l'écriture de son fameux bouquin. Comme souvent dans les cours de relativité générale il y a une introduction élémentaire au calcul tensoriel. C'est le genre de truc qu'on doit apprendre très vite à 20 ans (le sujet ne présente normalement aucune difficulté si on a appris suffisamment d'analyse et d'algèbre linéaire), et puis on cesse de s'en préoccuper, ce qui compte c'est les applications. Selon mon souvenir, les champs de tenseur m'ont un peu tracassé pendant 2 semaines, avant de me rendre compte que ce n'était pas difficile du tout. Les tenseurs peuvent resurgir plus tard en théorie des représentations des groupes, quand on prend le produit tensoriel de représentations et qu'on les réduit. C'est dans cette application qu'il y a quelques subtilités à apprendre, pas tellement en relativité générale.

[pachacamac]

Les 25 vidéos du cours d'introduction à la RG de richard Taillet se trouvent ici.

C'est des cours donnés à des étudiants de Master 1. (j'avais deja visionné il y a un certain temps les premiers cours mais cela devient vite très (trop ) difficile pour moi . (je ne possède que très peu de notions d'analyse et d'algèbre linéaire)

Ensuite quand ou si on arrive à maitriser un peu le calcul tensoriel, si on s’intéresse aux tenseurs de l'équation d'Einstein encore faut t'il trouver les valeurs à mettre dans les coefficients du tenseurs. Si j'ai bien compris ce qu'en dit Gourgoulhon, cela nécessite de partir des coefficients de la métrique, pour en déduire les valeurs associées aux symboles de Christofell avec lesquelles on calcul les valeurs du tenseur de Ricci d'où l'on déduit la valeur du scalaire de Ricci à partir duquel on peut trouver les valeurs du tenseur d'Einstein.

Pas simple (pour moi)

[pachacamac]

A propos des notes de cours de Sean Caroll, c'est sur que si on comprend son avant propos d 'environ 40 pages sur la RR alors pour les variétés les courbures et la RG cela devient beaucoup plus facile.

Perso dés qu'il introduit les sinus et cosinus hyperboliques, je coule

[mach3]

Merci pour vos explications. Je pense que je vais en rester aux produits scalaires de vecteurs et admettre après avoir lu les différents liens (et les liens dans les liens) que le calcul tensoriel est hors de ma portée. Probablement que pour moi vouloir comprendre ces calculs c'est comme si je me fixais comme objectif de gravir les Grandes Jorasses.

je vais quand même essayer de temps en temps en bataillant ligne par ligne d'avancer un peu dans les deux documents cités plus haut.

Faut pas désespérer, c'est vraiment un truc qu'il ne faut pas hésiter à attaquer en plusieurs fois, en variant les cours/bouquins/vidéos. Faut que ça murisse, à un moment il y a le déclic. Pour ma part ça a pris plusieurs années (en 2010 j'avais jeté un oeil dans "gravitation" et je m'étais dit purée je comprends rien c'est mort la RG ça restera inaccessible pour moi, en 2016 j'ai rééssayé et là ben c'était presque facile).

Ensuite quand ou si on arrive à maitriser un peu le calcul tensoriel, si on s’intéresse aux tenseurs de l'équation d'Einstein encore faut t'il trouver les valeurs à mettre dans les coefficients du tenseurs. Si j'ai bien compris ce qu'en dit Gourgoulhon, cela nécessite de partir des coefficients de la métrique, pour en déduire les valeurs associées aux symboles de Christofell avec lesquelles on calcul les valeurs du tenseur de Ricci d'où l'on déduit la valeur du scalaire de Ricci à partir duquel on peut trouver les valeurs du tenseur d'Einstein.

Pas simple (pour moi)

Quand on veut résoudre soi-même des problèmes de RG à la main, oui, c'est juste l'horreur. Pas sur le principe, parce qu'au final il suffit d'appliquer successivement les formules, mais sur les pages et les pages de développement qu'il faut se taper tellement il y a de termes (j'ai déjà résolu le problème de Schwarzschild à la main pour le fun, ben c'était super long et j'ai dû me relire plein de fois pour évacuer toutes les bourdes).
Mais avec les outils de calcul formel qui vont bien (par exemple Maxima), calculer les coefficients de Christofell ou les composants des tenseurs de Rieman ou Ricci ça prend juste quelques lignes de code.

De plus on peut très bien comprendre mieux beaucoup de choses en RG sans pour autant se taper ces calculs là. Il est plus intéressant et plus facile de comprendre ce que veulent dire physiquement les symboles de Christofell ou le tenseur de Riemann que de les calculer, mais il est nécessaire de comprendre un minimum ce qu'ils sont au niveau mathématique pour ce faire.

Bref, il y a de quoi persévérer, et le forum est là pour aider dans la progression. Il ne faut pas hésiter au moindre truc qui résiste (genre les cosinus et sinus hyperboliques ), il y a quelques membres qui s'y connaissent bien et qui expliquent bien.

m@ch3

[ThM55]

A propos des notes de cours de Sean Caroll, c'est sur que si on comprend son avant propos d 'environ 40 pages sur la RR alors pour les variétés les courbures et la RG cela devient beaucoup plus facile.

Perso dés qu'il introduit les sinus et cosinus hyperboliques, je coule

Une étude des maths niveau secondaire ou prépa serait utile avant d'aborder la physique. Les fonctions hyperboliques, c'est tout de même un sujet assez élémentaire, plus élémentaire que le calcul tensoriel. Il ne devrait poser aucun problème. En fait la physique théorique doit être abordée par étapes successives, chacune s'appuyant sur les acquis de la précédente. C'est la raison pour laquelle c'est très difficile de se former seul, il faut une initiation, un guidage.

Le piège est de se retrouver fasciné par les derniers sujets à la mode, par exemple de passer directement à des choses comme la théorie quantique ou la cosmologie alors qu'on ne possède pas les prérequis. A mon avis cela explique en partie, combiné à l'effet Dunning-Kruger, l'activité stérile de bon nombre de "cranks" qui croient avoir réfuté la relativité restreinte par exemple.

Si on n'a pas la chance d'avoir eu cette initiation en mathématique et en physique avec des cours dans une fac ou une haute école, c'est difficile. Toutefois, le prix Nobel Gerard 't Hooft, qui est très engagé dans la pédagogie, a créé une ressource en ligne: https://goodtheorist.science/index.html . Il faut lire ses conseils, même si on n'a pas l'ambition d'obtenir le prix Nobel. Dans la page d'accueil, la liste à gauche donne dans l'ordre logique ce qu'il faut étudier. Chaque page contient aussi des liens vers de ressources entièrement en ligne. J'ai vérifié, il y a relativement peu d'erreurs 404, bien que la page de 't Hooft ne soit pas si récente. Je dirais qu'on peut faire l'impasse sur quelques sujets annexes, comme l'électronique ou l'optique (quoique, ces deux matières ont leur importance pour comprendre l'aspect expérimental). Mais en gros, il s'agit d'étapes successives à franchir.

A noter que le premier pré-requis est la connaissance de l'anglais. Cela ne fera pas plaisir aux défenseurs du français, mais c'est une réalité. Il serait sans doute possible de trouver un équivalent en français de presque chaque lien renseigné par 't Hooft mais je pense que ce serait une erreur de négliger l'anglais. J'ai rencontré un linguiste récemment, il m'expliquait que le plus efficace pour apprendre une langue étrangère (il en parle une vingtaine!) est de se concentrer sur des textes qui parlent d'un sujet spécifique: par exemple lire tout ce qui se publie sur la cuisine, ou le jardinage, les chiens, ou dans notre cas sur la physique ou les maths. La raison est que dans un domaine spécifique, le vocabulaire à assimiler pour entrer dans le sujet est limité. On arrive donc plus vite au coeur de la structure de la langue étrangère qu'on veut apprendre, on est beaucoup moins freinés par l'assimilation d'un vaste vocabulaire qui rend la tâche plus complexe. Par la suite, on peut étendre son vocabulaire en pratiquant la langue, en lisant, en regardant des films...

[Deedee81]

Salut,

Réponse à pachacamac même si je cite mach3

Faut pas désespérer, c'est vraiment un truc qu'il ne faut pas hésiter à attaquer en plusieurs fois, en variant les cours/bouquins/vidéos. Faut que ça murisse, à un moment il y a le déclic. Pour ma part ça a pris plusieurs années (en 2010 j'avais jeté un oeil dans "gravitation" et je m'étais dit purée je comprends rien c'est mort la RG ça restera inaccessible pour moi, en 2016 j'ai rééssayé et là ben c'était presque facile).

On ne peut donner meilleur conseil (*).
Perso j'ai eut une expérience encore pire : j'avais cru comprendre la RG (avec un bouquin qui ne donnait que le "point de vue composantes"). Pire car il vaut mieux coincer que croire erronément avoir compris. C'est en lisant de la géométrie différentielle que j'ai compris que je ne comprenais pas (non, non, je ne suis pas Jean Gabin Et j'ai donc fait exactement ça : varié les sources et attaqué tout azimut.

(*) Et ça reste un bon conseil pour tout ce qui atteint ce niveau de complexité. J'ai dû faire la même chose avec la topologie générale, avec les espaces de Hilbert et les algèbres (notamment les algèbres de von Neumann, passionnant d'ailleurs, même si les travaux de Alain Cones sont ardus). Et c'est aussi l'occasion de voir ses limites (on en a tous, perso je coince avec la topologie algébrique, mais c'est en travaillant qu'on le découvre, et quand je vois le niveau des discussions de certains, pachacamac je t'y inclus, je doute qu'on trouve sa limite avec les tenseurs : c'est pas du tout trivial mais ce n'est pas non plus le plus ardu, comme iut mach3 faut juste travailler jusqu'au déclic. En plus c'est assez passionnant, donc pas une corvée.... enfin, moi je trouve ).

Pour les calculs pratiques, je confirme. Dans tous les calculs/exemples/exercices des cours/livres même relativement avancés, c'est des exemples fort idéalisés. Et dès qu'on s'attaque à quelque chose de plus costaud ça devient cauchemardesque, d'un pur aspect calculatoire. Et donc moi aussi je suis passé par du calcul formel (là j'ai utilisé un programme gratuit plus un écrit pour mes propres besoins). Faut pas se focaliser là dessus : il y a la théorie et il y a le calcul, l'un n'est pas l'autre, le plus important c'est la théorie et après, ma foi, le calcul, ben c'est juste du calcul cétou.
EDIT : c'est vrai aussi de la MQ ou de la théorie des champs d'ailleurs. Essayé un peu de calculer à la main les niveaux d'énergie des électrons dans l'hélium

Et mach3 a aussi raison sur le dernier point. Vu le niveau idéalisé des problèmes abordables à la main et les bases physiques/mathématiques nécessaires, c'est tout aussi abordable sur le forum (sur des points particuliers, bien sûr, pas tout un cours). Faut pas hésiter.

EDIT ah oui, les conseils de Thm sont très bon aussi. Et il n'y a rien de plus ch... de potasser quelque chose quand tout d'un coup on se rend compte qu'on n'a pas les prérequis : alors on doit faire marche arrière ce qui évidemment fait perdre du temps.

[pachacamac]

Merci pour vos encouragements.
Comprendre la RG c'est donc pas comme dans le Tour de France où on est disqualifié quand on à trop de retard
Je vais donc attendre patiemment le déclic en essayant de développer un peu ma bosse des math.

[Deedee81]

Comprendre la RG c'est donc pas comme dans le Tour de France où on est disqualifié quand on à trop de retard

Sauf à la fac, mais toi comme moi, c'est loin derrière

[pachacamac]

Dans la page wikipedia sur covariance/contravariance on trouve :


Mais d'où vient et c'est quoi ce j ??

Merci

[jacknicklaus]

On est en notation d'Einstein, c'est à dire qu'un indice répété (ici j) signifie une sommation sur toutes les valeurs de l'indice. Par exemple en dimension 3, avec une base e0, e1, e2 :



tu peux voir le tenseur (1,1) comme une application linéaire, ou encore comme une matrice, j la colonne, i la ligne

[pachacamac]

Merci.

Bloque note : liens futura -tenseurs => ici
Mais où est donc passée la relativité générale ?
Cours RG de Gourgoulhon

[pachacamac]

Rectification du lien : Mais où est donc passée la relativité générale ?

[pachacamac]

ça y est, je commence à comprendre les tenseurs, même si je ne sais pas encore jongler avec.

Deux liens de plus qui m'ont beaucoup aidé :
Les tenseurs pour les nuls.
Qu'est ce qu'un tenseur ?

[pachacamac]

Bonjour,

Après les tenseurs et le calcul tensoriel, j'ai repéré une seconde grande difficulté dans l'équation d'Einstein avant de pouvoir espérer la comprendre un peu.

Il s’agit de l'utilisation du symbole de Christoffel pour définir les connexions.
J'ai lu les pages Wikipédia sur ce symbole, les connexions , les dérivées covariantes, et regardé dans différents cours de RG, mais je n'y ai pas trouvé ou compris comment on passe de son écriture condensé ( avec Gamma et des indices ) à celle de ces différentes composantes quand on le développe.

Tout éclairage sur ce symbole et l'obtention des ses composantes bienvenue.

Merci

[mach3]

Je ne pas plus de temps et c'est bien dommage, mais un point à explorer est le fait que la dérivée covariante de la métrique doit être nulle.
Comme la dérivée covariante d'un tenseur c'est la dérivée + des termes correctifs avec les symboles de Christofell, alors si la dérivée covariante de g est nulle, on peut écrire la dérivée de g en fonction des termes correctifs, ce qui en touillant permet de connaitre les termes correctifs en fonction des dérivées de g.

m@ch3

[Archi3]

Bonjour,

Après les tenseurs et le calcul tensoriel, j'ai repéré une seconde grande difficulté dans l'équation d'Einstein avant de pouvoir espérer la comprendre un peu.

Il s’agit de l'utilisation du symbole de Christoffel pour définir les connexions.
J'ai lu les pages Wikipédia sur ce symbole, les connexions , les dérivées covariantes, et regardé dans différents cours de RG, mais je n'y ai pas trouvé ou compris comment on passe de son écriture condensé ( avec Gamma et des indices ) à celle de ces différentes composantes quand on le développe.

Tout éclairage sur ce symbole et l'obtention des ses composantes bienvenue.

Merci

pour démystifier un peu : est ce que tu connais l'expression de la vitesse et de l'accélération d'un point en coordonnées polaires (à 2 D) ?

[pachacamac]

@Archi3 : non.

[Archi3]

ah, ça serait bien que tu révises un peu la mécanique classique avant de te mettre à la relativité.....

les coordonnées polaires sont l'exemple plus simple de "coordonnées non cartésiennes" (un autre exemple simple est la latitude et la longitude sur la Terre) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonnées_polaires du coup ça permet d'illustrer comment des termes "étranges" se mettent à apparaitre quand on dérive etc ...
Le point fondamental est que dans les coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base (i,j) ne dépendent pas du point où on est, alors que dans les coordonnées non cartésiennes ils en dépendent. Du coup dériver les vecteurs ne revient pas à simplement prendre la dérivée des composantes, car il faut aussi "dériver les vecteurs de base" (ce qui fait apparaitre les Christoffel même si on ne les appelle pas comme ça en mécanique classique, fondamentalement c'est la même chose). Si les vecteurs changent avec le temps (cas des référentiels tournants), ça fait apparaitre les forces d'inertie qui sont en fait aussi des Christoffel. En gros les Christoffel décrivent la variation des vecteurs de base quand tu te déplaces.