Equation d'Einstein et tenseurs - Page 2
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Equation d'Einstein et tenseurs



  1. #31
    pachacamac

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs


    ------

    Okay et merci du conseil. Je vais regarder d'un peu plus près ces coordonnées non cartésiennes que jusqu'à présent j'avais toujours survolé. Bon j'ai encore beaucoup de boulot en math avant de comprendre l'équation d'Einstein mais petit à petit je progresse.

    -----

  2. #32
    mtheory

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  3. #33
    mach3
    Modérateur

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Un vieux message à propos des symboles de Cristofell en coordonnées polaires dans le plan euclidien :
    https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6548516

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  4. #34
    pachacamac

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    @mach3 : Cet ancien message permet de bien comprendre le pourquoi de l'utilisation des symboles de Christofell et leur environnement mathématiques mais je pense qu'il qu'il me faudra plusieurs années avant de maitriser un peu leur utilisation d'un point de vue calculatoire et en paraphrasant Paganini je dirais : Qui a dit que la RG c’était simple ?

    Prochaine étape je vais retourner aux cours de Richard Taillet et de Susskind voir si j'arrive à mieux les comprendre.

    Merci

  5. #35
    pachacamac

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Dans les expressions avec les dérivées partielles (drond) il n'y a aucun signe entre ces dérivées ni entre elles et Wpq donc en admettant qu'on arrive à les calculer qu 'elle(s) opération(s) doit t'on faire ensuite...

    Nom : drond.jpg
Affichages : 81
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  6. #36
    Archi3

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Citation Envoyé par pachacamac Voir le message
    Dans les expressions avec les dérivées partielles (drond) il n'y a aucun signe entre ces dérivées ni entre elles et Wpq donc en admettant qu'on arrive à les calculer qu 'elle(s) opération(s) doit t'on faire ensuite...

    Pièce jointe 474698
    quand il n'y a pas de signe indiqué, c'est que c'est implicitement un produit.

    Mais attention quand le même indice apparait deux fois, une fois "en haut" (position "contravariante") et une fois en bas (position covariante), c'est qu'on applique la convention d'Einstein, c'est à dire qu'il faut faire la somme de toutes les valeurs de l'indice de 0 à 3. Chaque indice répété multiplie par 4 le nombre de termes. Par exemple dans l'image ci dessus, W'mn est en fait une somme de 16 termes, pour toutes les valeurs de p et q de 0 à 3 .

  7. #37
    pachacamac

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Dans son cours de Relativité Générale, chapitre Tensor mathematics, Léonard Susskind écrit :



    Je trouve étonnant cette simplification par

    A t'on toujours le droit dans un produit de dérivées partielles de simplifier de la sorte en enlevant des expressions identiques, l'une au numérateur et l'autre au dénominateur de dérivées partielles différentes ?

    D'autant plus d'autant plus, que dans l'expression originale il y avait une somme sur les m qui ont maintenant disparus.



    Pièce jointe 474812
    Dernière modification par pachacamac ; 06/02/2023 à 12h42.

  8. #38
    mtheory

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Citation Envoyé par pachacamac Voir le message
    Dans son cours de Relativité Générale, chapitre Tensor mathematics, Léonard Susskind écrit :



    Je trouve étonnant cette simplification par

    A t'on toujours le droit dans un produit de dérivées partielles de simplifier de la sorte en enlevant des expressions identiques, l'une au numérateur et l'autre au dénominateur de dérivées partielles différentes ?

    D'autant plus d'autant plus, que dans l'expression originale il y avait une somme sur les m qui ont maintenant disparus.



    Pièce jointe 474812
    la somme sur les m c'est la convention d'Einstein, quand on a deux indices identiques en haut et bas ça veut dire qu'on a une somme sur toutes les valeurs de l'indice je suis certain que Susskind en parle, sinon, visiblement, je serai vous je prendrai un bon cours de calcul différentiel et intégral en parallèle, presque tous les bouquins des éditions Mir en maths et physique, donc très pédagogique, sont en accès libre ici https://archive.org/details/mir-titles

    https://archive.org/details/piskunov...1-mir/mode/2up
    Dernière modification par mtheory ; 06/02/2023 à 13h02.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  9. #39
    mtheory

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Citation Envoyé par mtheory Voir le message
    la somme sur les m c'est la convention d'Einstein, quand on a deux indices identiques en haut et bas ça veut dire qu'on a une somme sur toutes les valeurs de l'indice je suis certain que Susskind en parle, sinon, visiblement, je serai vous je prendrai un bon cours de calcul différentiel et intégral en parallèle, presque tous les bouquins des éditions Mir en maths et physique, donc très pédagogique, sont en accès libre ici https://archive.org/details/mir-titles

    https://archive.org/details/piskunov...1-mir/mode/2up
    y a même le Landau, bon c'est sacrément au-dessus de votre niveau mais en jetant un coup d'oeil en plus du Susskind et du reste, ça peut vous donner des infos, c'est ce que j'ai fais étudiant à la fac, j'étais loin de tout comprendre mais ça m'a aidé à appendre le calcul tensoriel et la relativité https://archive.org/details/landau-l...e/298/mode/2up
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  10. #40
    mtheory

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Citation Envoyé par mtheory Voir le message
    y a même le Landau, bon c'est sacrément au-dessus de votre niveau mais en jetant un coup d'oeil en plus du Susskind et du reste, ça peut vous donner des infos, c'est ce que j'ai fais étudiant à la fac, j'étais loin de tout comprendre mais ça m'a aidé à appendre le calcul tensoriel et la relativité https://archive.org/details/landau-l...e/298/mode/2up
    Un autre truc que j'avais utilisé à l'époque https://archive.org/details/in.ernet...ge/n3/mode/2up
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  11. #41
    pachacamac

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    @mtheory,

    En ce qui concerne la convention d'Einstein sur les sommations implicites, je connaissais déjà depuis assez longtemps. Quand il y a un seul indice en bas (covariant pour les vecteurs ou tenseurs ) et un seul indice en haut ( contravariant pour les vecteurs ou tenseurs ) ça ne me pose aucun problème. Par contre quand il y a beaucoup d'indices avec parfois pas le même nombre en bas et en haut, ça peut m'embrouiller assez facilement.

    Merci pour les liens. Celui vers le cours de Piskounov me semble le plus à même de combler mes lacunes en calcul différentiel, en regardant rapidement les deux autres j'ai vu qu'ils pouvaient contenir des passages qui pourraient m’intéresser et m'être partiellement compréhensibles mais bon je m’intéresse à la RG comme un loisir et/ou une gymnastique neuronale pas pour passer l'agrégation ou devenir chercheur

    Sinon je suis pas sur que tu ais compris ce qui me posait problème dans la "simplification de Susskind"



    Je trouve étonnant cette simplification par

    Si on considère cette expression comme un produit de deux fractions, alors dés les petites classes du collège, voir à l'école primaire on apprend qu'on peut simplifier en enlevant un même terme qui se trouve au numérateur et au dénominateur.

    Mais ici que j'appelle la dérivée partielle de x par rapport à y ( j’omets les indices pour simplifier) pour moi n'a plus de sens si on enlève le dénominateur idem pour la seconde dérivée patielle dont on enlève le numérateur.

    Donc même si je suppose que c'est correct vu que c'est Susskind qui le dit, j'ai du mal a concevoir que le membre de gauche de l'équation est égal au membre de droite...
    Dernière modification par pachacamac ; 06/02/2023 à 18h32.

  12. #42
    Archi3

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    ce n'est pas une simplification par même si ça y ressemble formellement. C'est une composition de dérivation (et bien sûr c'est correct) .

    Quand tu as une fonction de plusieurs variables F(x,y),tu peux effectuer des changements de variable et considérer que x et y sont elles mêmes des fonctions de deux variables X et Y et tu peux définir une nouvelle fonction G(X,Y) = f(x(X,Y),y(X,Y)). Dans ce cas les mathématiques te disent que les dérivées s'obtiennent en "composant les dérivées"



    si on appelle et et que tu appliques la convention d'Einstein (un indice muet répété deux fois est en fait une somme sur 1 et 2) , on peut écrire

    (il y a en fait deux termes 1 et 2)

    Note que ça peut apparaitre comme une "simplification par x_i" mais c'est pas si simple que ça. Note une petite différence, j'ai employé deux notations différentes pour G et F car formellement la fonction de x et y ne s'écrit pas pareil que la fonction de X et Y : mathématiquement ce sont deux fonctions différentes. Cependant la "quantité physique" F et G est la même et un physicien tendra à appeler avec la même lettre F et G : par exemple si tu exprimes l'enthalpie d'un gaz en fonction du volume et de la température, ou en fonction de la pression et de la température, la quantité finale est la même pour le même état , mais la fonction formelle n'est pas la même en fonction des variables.

    d'autre part tu vois que si tu mets des quantités physiques différentes, X,Y , x et y peuvent etre des quantités de dimension différentes (par exemple en thermo, une pression, un volume, une température, une densité etc ...) Dimensionnellement, il est clair que la dérivation intermédiaire par x ou y doit se simplifier et donc apparaitre "en haut et en bas' ce qui explique l'impression de "simplification".

  13. #43
    mtheory

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Citation Envoyé par pachacamac Voir le message
    @mtheory,

    En ce qui concerne la convention d'Einstein sur les sommations implicites, je connaissais déjà depuis assez longtemps. Quand il y a un seul indice en bas (covariant pour les vecteurs ou tenseurs ) et un seul indice en haut ( contravariant pour les vecteurs ou tenseurs ) ça ne me pose aucun problème. Par contre quand il y a beaucoup d'indices avec parfois pas le même nombre en bas et en haut, ça peut m'embrouiller assez facilement.

    Merci pour les liens. Celui vers le cours de Piskounov me semble le plus à même de combler mes lacunes en calcul différentiel, en regardant rapidement les deux autres j'ai vu qu'ils pouvaient contenir des passages qui pourraient m’intéresser et m'être partiellement compréhensibles mais bon je m’intéresse à la RG comme un loisir et/ou une gymnastique neuronale pas pour passer l'agrégation ou devenir chercheur

    Sinon je suis pas sur que tu ais compris ce qui me posait problème dans la "simplification de Susskind"



    Je trouve étonnant cette simplification par

    Si on considère cette expression comme un produit de deux fractions, alors dés les petites classes du collège, voir à l'école primaire on apprend qu'on peut simplifier en enlevant un même terme qui se trouve au numérateur et au dénominateur.

    Mais ici que j'appelle la dérivée partielle de x par rapport à y ( j’omets les indices pour simplifier) pour moi n'a plus de sens si on enlève le dénominateur idem pour la seconde dérivée patielle dont on enlève le numérateur.

    Donc même si je suppose que c'est correct vu que c'est Susskind qui le dit, j'ai du mal a concevoir que le membre de gauche de l'équation est égal au membre de droite...
    Une dérivée est un quotient de quantités qui tendent vers une limite, dans le cas présent c'est exactement ça, donc on peut effectivement simplifier, du moins ça marche exactement comme si c'était ça, rigoureusement il faut traiter ça dans une formulation plus avancée du calcul différentiel mais en pratique on peut vraiment faire comme ça et la justification n'est pas complétement absurde.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  14. #44
    Archi3

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    A noter que l'écriture n'est correcte que si on applique bien la convention d'Einstein et qu'on somme sur toutes les valeurs de m/

    C'est bien


    qui est correcte , comme on peut s'en convaincre en partant de la différentielle totale

    et

    Une écriture avec "un seul indice m" telle que
    est fausse car on ne peut pas juste "simplifier par

    une autre remarque est que ne veut rien dire "en soi" si on ne précise pas "à quoi constant" c'est à dire quelles sont les autres coordonnées. Elle ne prend son sens qu'avec un jeu complet de coordonnées. Ce n'est jamais précisé en RG car on fait le plus souvent des jeux de transformations "complètes", ou bien si on ne change qu'une ou deux coordonnées , on donne des noms différents à l'ensemble. En thermodynamique où on utilise comme coordonnées des quantités physiques et on leur donne le même nom, on passera souvent de coordonnées (p,T) à (v,T) par exemple, et il est important de spécifier "à quoi constant" on dérive.
    En RG le sous entendu est que les forment un jeu complet de coordonnées unique et donc implicitement est juste le symbole de Kronecker qui vaut 1 si a=b et 0 si a≠ b
    Dernière modification par Archi3 ; 07/02/2023 à 05h35.

  15. #45
    Archi3

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Citation Envoyé par Archi3 Voir le message
    Une écriture avec "un seul indice m" telle que
    est fausse car on ne peut pas juste "simplifier par
    pour élaborer un peu plus ce qui précède , en faisant a = b, l'écriture est fausse, ainsi que sa conséquence logique . les dérivées partielles ne sont PAS les inverses les unes des autres, alors qu'un raisonnement naïf les voyant comme "le quotient de deux variations" pourrait faire penser le contraire. la raison est que en fait les variations ne sont pas les mêmes car une des variations est évaluée "à yi≠0 constant" alors que l'autre est évaluée "à xi≠a constant", ce ne sont donc pas selon les mêmes chemins . Contrairement aux dérivées droites ordinaires des fonctions d'une variable où la relation d'inverse est valable.

    Avec l'écriture correcte on voit en revanche que les matrices jacobiennes des dérivées partielles sont bien inverses l'une de l'autre.

  16. #46
    pachacamac

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Merci à vous deux. Il va me falloir un peu de temps pour assimiler vos réponses.

    on voit en revanche que les matrices jacobiennes...
    Je vois surtout que j'ai besoin d'une grande mise à niveau sur les dérivées partielles.

  17. #47
    Archi3

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Citation Envoyé par pachacamac Voir le message
    Je vois surtout que j'ai besoin d'une grande mise à niveau sur les dérivées partielles.
    c'est juste un mot savant pour désigner la matrice faite avec toutes les dérivées partielles quand tu fais un changement de variables (ou de "coordonnées") , la matrice de Jacobi est la matrice des

  18. #48
    Deedee81

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Salut,

    En effet, pour les dérivées partielles c'est pas si dur.
    Pachacamac, tu as quelques bonnes références maintenant pour potasser tout ça, non ? Sinon j'ai adoré "Le calcul tensoriel en physique" des frères Hladik.
    Très bien écrit, pas à pas, très clair et pédagogique, se lit facilement. Avec des applications (y compris la RG ), des exercices....
    Et on y trouve évidemment des dérivées partielles !!!!
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  19. #49
    mtheory

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  20. #50
    pachacamac

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Pour la matrice Jacobienne, c'est okay. Après je me rappelle avoir lu qu'il il a un truc important à savoir sur sa trace (le Jacobien ) mais j'ai oublié de quoi s'agit t'il.

    Pour les dérivées partielles, effectivement comprendre le principe m'a l'air dans mes cordes, après pour résoudre des équations qui en contiennent je crois savoir que c'est une autre paire de manche.

    En ce qui concerne ma documentation, j'ai maintenant de quoi lire ou visionner des cours pour un certain temps et même un temps certain. Merci à tous ceux qui ont fourni ces liens.
    Inutile d 'en rajouter

    Encore Merci.

  21. #51
    Deedee81

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Citation Envoyé par pachacamac Voir le message
    après pour résoudre des équations qui en contiennent je crois savoir que c'est une autre paire de manche.
    Ah ça oui, comme toujours avec les équations aux dérivées partielles d'ailleurs.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  22. #52
    Archi3

    Re : Equation d'Einstein et tenseurs

    Citation Envoyé par pachacamac Voir le message
    Pour la matrice Jacobienne, c'est okay. Après je me rappelle avoir lu qu'il il a un truc important à savoir sur sa trace (le Jacobien ) mais j'ai oublié de quoi s'agit t'il.
    le jacobien c'est le déterminant de la matrice. Il intervient effectivement dans plusieurs cas, en particulier dans les intégrales de volume, où on intègre sur les coordonnées, quand on fait un changement de variable il faut multiplier par le jacobien, ça généralise le changement de variable à une dimension du genre du =u'(x)dx

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