relativité générale & symboles de Christoffel

[benjgru]

Bonjour,

j'aime bien ce cours car il tente d'expliquer du mieux qu'il peut la signification physique des symboles de Christoffel, c'est assez rare avec desdessins géométriques, et c'est page 11 .

Néanmoins , je ne comprends pas pourquoi certains symboles sont nuls ici comme par exemple qui vaut habituellement...

Si quelqu'un peut éclairer ma lanterne...


Merci !
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[Amanuensis]

Doc non encore validé, néanmoins :

Néanmoins , je ne comprends pas pourquoi certains symboles sont nuls ici comme par exemple qui vaut habituellement...

Que veut dire "habituellement" ??? Lesdits symboles dépendent du choix du système de coordonnées ; ce serait pour "un système de coordonnées habituel" ? Ce serait mieux de préciser le système de coordonnées sous-entendu, non?

Si quelqu'un peut éclairer ma lanterne...


Merci ![/QUOTE]

[benjgru]

Ben dans le système de coordonnées cylindriques habituel je voulais dire...désolé .

[Amanuensis]

Néanmoins , je ne comprends pas pourquoi certains symboles sont nuls ici comme par exemple qui vaut habituellement...

n'est pas indiqué comme nul, mais égal à . Sans vérifier, cela doit être la montée d'indice qui le transforme en

[A voir en vidéo sur Futura]

[benjgru]

Impossible qu'il y ait un signe - devant . Le poly est truffé d'erreurs....

[Amanuensis]

pour Minkowski en coordonnées spatiales sphériques, en signature -+++, selon une référence. Pourquoi pas le signe - après descente de l'indice ?

En fait, c'est passer à l'inverse de r qui me pose problème, au moins autant que le signe -.

[benjgru]

pour Minkowski en coordonnées spatiales sphériques, en signature -+++, selon une référence. Pourquoi pas le signe - après descente de l'indice ?

En fait, c'est passer à l'inverse de r qui me pose problème, au moins autant que le signe -.

Non c'est OK pour , c'est le - de qui me pose problème...

[Amanuensis]

Comme g_rr = 1, la descente d'indice ne devrait-elle pas donner -r ?

[benjgru]

Là j'avoue, cela dépasse mon domaine de compétences hélas !

Je ne maîtrise pas les descentes d'indices ( je connais les symboles de Christoffel, mais pas trop les techniques de calculs un peu ardues ! )

[Amanuensis]

Dans le doc il y a aussi , et il me semble que c'est faux aussi. , or la descente d'indice multiplie par , ce qui donne , et on a ensuite un changement de signe par antisymétrie pour obtenir .

Les deux erreurs (si ce sont bien des erreurs) sont peut-être corrélées (l'auteur a oublié la métrique...).

[Amanuensis]

Je ne maîtrise pas les descentes d'indices ( je connais les symboles de Christoffel, (...) )

Le problème est que l'auteur présente les Christofell avec tous les indices en bas, ce qui n'est pas la pratique la plus usuelle (ni physiquement très logique). Comparer avec d'autres sources demande de gérer la descente d'indice !

[Amanuensis]

Je ne maîtrise pas les descentes d'indices

Avec une métrique diagonale la descente ou la montée d'indice n'est pas bien difficile : c'est multiplier par la composante de la métrique correspondant à la coordonnée.

[Amanuensis]

Correctif :

Avec une métrique diagonale la descente ou la montée d'indice n'est pas bien difficile : c'est multiplier ou diviser par la composante de la métrique correspondant à la coordonnée.

[benjgru]

J'aimais bien son interpétation géométrique des symboles de Christoffel pourtant...c'est le seul cours de relativité générale où j'ai vu ça...mais c'est vrai que si c'est pour écrire des trucs faux ça ne sert à rien.
Dans le cas de coordonnées cylindriques ou sphériques, les symboles sont là en sourdine, donc j'aimerais bien comprendre leur valeuret leur calcul. Mais dans le cas général, c'est vraiement très ardu , là je laisse tomber !

[Amanuensis]

Il y a une relation assez étroite entre les Christoffell et l'effet d'un changement de coordonnées sur la dérivée seconde (1) en espace plat (en partant de coordonnées "plates", métrique diagonale à coefficients constants). Cela permet une interprétation.

(J'ai des tas de notes et de calculs là-dessus, faudrait que je les mette en forme, et ça ne tient pas dans des messages de forum.)

[benjgru]

Oui c'est bien ce qu'il me semblait. Ils interviennent "cachés" dans l'accélération centrifuge, peut-être même de Coriolis ?? en coordonnées polaires je veux dire.

[mach3]

J'aimais bien son interpétation géométrique des symboles de Christoffel pourtant...c'est le seul cours de relativité générale où j'ai vu ça...mais c'est vrai que si c'est pour écrire des trucs faux ça ne sert à rien.
Dans le cas de coordonnées cylindriques ou sphériques, les symboles sont là en sourdine, donc j'aimerais bien comprendre leur valeuret leur calcul. Mais dans le cas général, c'est vraiement très ardu , là je laisse tomber !

Pour aborder assez simplement l'interprétation géométrique des symboles de Christofell, prenons le plan euclidien, choisissons un point O comme origine et définissons deux champs de vecteurs et tels qu'en tout point (sauf l'origine), il y a une base orthonormale, celle utilisée usuellement quand on travaille en coordonnées polaires ( https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_...ntial_geometry ). (formellement, en un point quelconque (sauf à l'origine) le vecteur est colinéaire à la radiale issue de O qui passe par ce point, dans le sens opposé à O et de norme 1. En ce même point est orthogonal à , avec un sens et une norme tel que soit un champ constant)

Prenons un vecteur en un point M du plan et effectuons son transport parallèle en un autre point M'. Comme on est dans le plan euclidien, le transport parallèle n'est autre que la translation. Comparons maintenant le vecteur transporté de M à M', au vecteur déjà présent au point M' : ces deux vecteurs sont différents : l'un est tourné par rapport à l'autre (sauf ici dans le cas particulier où M et M' sont sur la même radiale et du même côté par rapport à O). Idem si on fait subir cela à un vecteur .
La différence entre le vecteur transporté est le vecteur local fait intervenir la dérivée covariante du champ de vecteur, qui est elle même un vecteur. Son intégration sur le chemin du transport fournit la différence entre le vecteur transporté et le vecteur local.

Intéressons nous à la dérivée covariante du vecteur dans la direction (=comment change lors d'un déplacement arbitrairement petit le long d'une orthoradiale). Il s'agit d'un vecteur dont la coordonnée suivant est le symbole de Christoffel :

et la coordonnée suivant est le symbole de Christoffel :


En fait cette dérivée covariante s'écrit : (le LaTeX du forum ne veut pas me mettre e_{\theta} en indice de mon nabla correctement, si quelqu'un à une solution...)

Les coefficients de Christoffel sont les coordonnées des dérivées covariantes. est la coordonnée suivant le vecteur de la dérivée covariante de dans la direction .

Note importante : en général on n'a pas . Seule les bases dites "holonomiques" permettent cette égalité. La base usuelle en coordonnées polaires n'est pas holonomique. On peut en effet remarquer aisément que déplacer suivant ne conduit à aucun changement : reste dans la même direction et de même longueur, alors que déplacer suivant conduit à une rotation de .

m@ch3

[benjgru]

Merci Mach 3 pour les explications;

En math sup on apprend que et c'est en lien avec la dérivée covariante ou pas du tout ?

[mach3]

Oui, il y a un lien, mais cette notation bien connue est un mélange des genres. C'est assez "sale".

Je manque de temps pour expliquer clairement en quoi c'est sale et comment il faudrait écrire la chose plus proprement, mais j'essaierais de m'y atteler plus tard.

m@ch3

[Amanuensis]

Oui c'est bien ce qu'il me semblait. Ils interviennent "cachés" dans l'accélération centrifuge, peut-être même de Coriolis ?? en coordonnées polaires je veux dire.

Oui, c'est alors clairement lié au changement de référentiel, qui est un changement de coordonnées une fois exprimé en 4D.

En math sup on apprend que et c'est en lien avec la dérivée covariante ou pas du tout ?

Oui, mais ce sont des cas où il est plus clair d'y voir le changement de coordonnées.

(En gros dans le cas plat la "dérivée covariante" est simplement la dérivée en coordonnée avec un système cartésien, une fois traduite en d'autres coordonnées. C'est le cas le plus simple (et trivial) de "dérivée covariante" (le résultat est nécessairement intrinsèque !).)

[benjgru]

Oui cet exemple est peut être un peu trivial et simpliste, mais il a le mérite d'êtree visuel; là au moins on voit les choses. Parce que dans le cas général sinon, à moins d'avoir bac+10 en maths, on ne voit rien du tout et le calcul tensoriel c'est extrêmement ardu

[mach3]

Parce que dans le cas général sinon, à moins d'avoir bac+10 en maths, on ne voit rien du tout et le calcul tensoriel c'est extrêmement ardu

C'est vrai que ça fait peur au départ, mais finalement, une fois qu'on a réussi à rentrer dedans ce n'est pas aussi ardu qu'on aurait pu le croire (bon, c'est pas non plus de la tarte, faut pas se mentir, mais ça dépend des aspects). Personnellement j'ai arrêté les maths en bac+2 (et les tenseurs ne faisaient pas partie du programme), et en persévérant en autodidacte sur quelques années (wikipedia, ce forum, les cours de richard taillet puis Gravitation de MTW) j'ai pu atteindre une certaine maitrise (bien entendu je reste une quiche par rapport à des chercheurs universitaires du domaine).

m@ch3

[Amanuensis]

Oui cet exemple est peut être un peu trivial et simpliste, mais il a le mérite d'êtree visuel; là au moins on voit les choses. Parce que dans le cas général sinon, à moins d'avoir bac+10 en maths, on ne voit rien du tout et le calcul tensoriel c'est extrêmement ardu

LE calcul tensoriel a deux aspects : l'un est une notation, l'autre est la multilinéarité.

La notation est "juste" des conventions à apprendre, un langage, une écriture. Comme tous les langages ou écritures, ça s'apprend le mieux par la pratique.

La "réalité" derrière cette écriture, c'est la multilinéarité. Et ça ce n'est guère plus compliqué que ce que cela indique. La linéarité, c'est les espaces vectoriels. La multilinéarité, eh bien, c'est traiter des machins plusieurs fois linéaires ! Le vectoriel en 3D, c'est traiter linéairement des triplets de scalaires. Si on traite linéairement de triplets de vecteurs, c'est de la multilinéarité, c'est du tensoriel. Et on peut traiter linéairement de multiplets de tenseurs, etc. (Au passage un scalaire, c'est un tenseur d'ordre 0, un vecteur d'ordre 1, un vecteur de vecteurs un tenseur d'ordre 2, etc.) Les tenseurs c'est du vectoriel (du linéaire) pour traiter du multilinéaire !

Reste à comprendre la relation avec le différentiel, la dérivation, la tangente. Ce sont toutes des notions de linéarisation locale de machins non linéaires, une différentielle est le terme linéaire d'un développement genre développement de Taylor. Les équations tensorielles relient des linéarisations locales, le plus souvent obtenues par une linéarisation par différentiation.

Ce sont les clés principales. Ensuite c'est de la pratique !

[benjgru]

Oui ça reste de la cuisine mathématique, un peu indigeste par moments, mais qui a tout de même demandé à Einstein 10 ans d'efforts !

Sur internet on tombe sur des trucs assez complexes quand même quand on tape "relativité générale" : fibré vectoriel, connexion de Levi-Civita, vecteurs de Killing, tenseur de Riemann...ça fait un peu peur, vu l'arsenal mathématique derrière tout ça !!

D'ailleurs il y a plus de techniques mathématiques que de théorie physique en général

[benjgru]

Ce site est pas mal ...avec des dessins : https://dournac.org/sciences/tensor_...#x31-1930005.2

[Deedee81]

Salut,

D'ailleurs il y a plus de techniques mathématiques que de théorie physique en général

Ca c'est pas faux Ceci dit, comme noté plus haut, c'est pas non plus le pire du pire (il y a des domaines mathématiques bien pires). Il faut s'y mettre et au final après un démarrage progressif, ça va assez vite. Et on trouve pas mal de bons bouquins sur les outils nécessaires à la physique. Et même de bons articles parfois, comme dans ArXiv (une des meilleures intros aux groupes de Lie que j'ai lu est sur ArXiv, par exemple).

Il ne faut pas hésiter à faire les exercices aussi, quand il y en a. C'est souvent là qu'on se rend compte qu'en fait il y avait des "détails" qu'on croyait seulement avoir compris, qu'on coince et qu'on comble ces petits défauts.

Et profiter du confinement pour s'instruire

EDIT et aussi trouver sa manière de travailler. S'il y a un truc que donner des cours m'a appris c'est qu'il n'y a pas de recette générale : chacun a "son truc". Le seul point commun : le travail.

[benjgru]

Et profiter du confinement pour s'instruire

C'est l'idée

Les maths de la relativité générale ont l'avantage (ou l'inconvénient) de mêler analyse, algèbre et géométrie...un menu très complet...ou indigeste au choix !

[Deedee81]

ou indigeste au choix !

Ca dépend si on est réfractaire aux maths ou pas. Je crois que si une équation donne des boutons, il vaut mieux se tourner vers la physique expérimentale

[benjgru]

Non je ne suis pas réfractaire aux maths du tout ! mais ça reste assez compliqué dans l'absolu le calcul tensoriel...moi j'ai plutôt fait de l'analyse il faut dire. Mais je m'accroche !

[Deedee81]

Non je ne suis pas réfractaire aux maths du tout !

Je ne te visais pas. Ma remarque était générale

mais ça reste assez compliqué dans l'absolu le calcul tensoriel...moi j'ai plutôt fait de l'analyse il faut dire. Mais je m'accroche !

L'analyse, c'est pas toujours simple non plus ! (j'avais dû potasser ça une fois : https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_microlocale , j'avais trouvé ça vraiment ardu)
Tout est question d'habitude.