Symboles de Christoffel d'un paraboloide hyperbolique

[invite36b59745]

Bonjour,

Dans le cadre d'un TIPE je m'intéresse aux géodésiques d'un paraboloide hyperbolique.J'essaie de calculer les symboles de christoffel mais les résultats que je trouve en les calculant à la main sont différent de ceux que je trouve avec Maxima (logiciel du genre de maple).
Pour simplifier je prend a=b=h=1 dans la définition du paraboloide hyperbolique:

x=u
y=v
z=u²-v²

La métrique est:

guu=1+4*u²
guv=gvu=-4*u*v
gvv=1+4*v²

A la main je trouve:
(Je n'ai pas de logiciel spécialisé pour l'écriture de symboles mathématiques donc j'écris gamma(x,y,z) pour les symboles de christoffel, avec x=indice du haut, y=indice en bas à gauche, z=indice en abs à droite)


gamma(u,u,u)=4*u/(1+4*u²)+1/u

gamma(u,u,v)=gamma(u,v,u)=0

gamma(u,v,v)=-4*u/(1+4*u²)-1/u

gamma(v,u,u)=-4*v/(1+4*v²)-1/v

gamma(v,u,v)=gamma(v,v,u)=0

gamma(v,v,v)=4*v/(1+4*v²)+1/v

Avec maxima je trouve, en écrivant x=u et y=v:

http://img18.imageshack.us/img18/2347/christoffel.png


Par ailleurs, avec les 3 méthodes que j'ai utilisé pour trouver les équations géodésiques, j'ai trouvé trois équations différentes...
J'ai calculé les équations avec maxima, à la main avec les symboles écris plus haut, et troisièmement en exprimant que le vecteur accélération est normal au plan tangent.J'obtiens en tout 3 sytèmes de 2 équations... je ne sais vraiment plus quoi faire.Quelle méthode vous semble-t-elle la plus fiable?


Merci d'avance.
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[invite8d75205f]

Bonsoir,

je viens de calculer (u,u,u) et je trouves 1/D avec D = 1+4u² +4v².

(Je n'ai plus le courage de calculer les autres).

As-tu pensé aux composantes contravariantes de la métrique ?

gⁱⁱ est différent de g_ii. Or ces composantes entrent dans l'expression des christoffels.

J'ai trouvé par exemple : g^uu = (1+ 4v²)/D

Bon courage !

[invite36b59745]

Bonjour et merci pour ta réponse.

Tu pourrais détailler tes calculs?
Que veut tu dire par "composantes contravariantes"?

Comment trouves tu guu = (1+ 4v2)/D ? (les deux u en exposants, j'arrive pas à l'écrire comme ça avec un clavier)

Tes résultats semblent concorder avec ce que je trouve avec le logiciel Maxima.

[invite8d75205f]

Bonsoir,

Les composantes d'un tenseur (par exemple le tenseur métrique g) peuvent s'écrire de manière contravariante lorsque l'on décompose le tenseur sur la base vectorielle du repère choisi, ou covariantes si l'on décompose sur la base duale.
Mais peu importe pour ton problème. Pour faire simple, les comp. contravariantes s'écrivent par convention avec les indices en position supérieure (g^uu par exemple; là, j'ai utilisé la balise exposant du mode avancé)
Les covariantes s'écrivent avec indices en bas (g_uu)

Par convention toujours, on passe des covariantes aux contravariantes grâce au tenseur métrique. Par exemple, pour un tenseur d'ordre 1 (vecteur) :
V_i = g_ikV^k,
où la sommation d'Einstein est utilisée.

La métrique est souvent donnée en comp. covariantes. J'ai en tous cas supposé que c'était le cas pour ton problème. Or les Christoffel (tout du moins ceux que tu veux calculer) utilisent les deux types de composantes : ^u_uu = 1/2g^ui(g_iu,u + g_ui,u - g_uu,i), où je n'ai pas écrit le symbole gamma.

Je te donnes la formule pour calculer les g^ij à partir de g_uu : g_uu = g_uig_ujg^ij.
Tu dois trouver deux autres formules du même type (une à partir de g_uv et une à partir de g_vv). Tu obtiens ainsi 3 équations à trois inconnues (les comp contra de g) qu'il ne te restes plus qu'à résoudre.

Bon courage !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite36b59745]

Je comprends pas comment tu trouves g^uu

Si j'applique la formule g_uu=g_uig_ujg^ij
en remplaçant i et j par u pour trouver g^uu je trouve
g^uu=1/g_uu=1/(1+4*u²) alors que tu dis trouver dans ton post d'avant g^uu=(1+4*v²)/(1+4*u²+4*v²)

[invite36b59745]

Et pour calculer chaque symbole, il faut en fait faire une somme des deux termes 1/2gui(giu,u + gui,u - guu,i) c'est ça? un avec i=u et un avec i=v ?

[invite36b59745]

http://mathworld.wolfram.com/Christo...econdKind.html

Sur cette page, il y a vers le milieu, 6 formules qui donnent les symboles de christoffel en fonction de la première forme fondaùentale.Et miracle: ça vérifie parfaitement ce que je trouve avec Maple.

[invite8d75205f]

Je comprends pas comment tu trouves g^uu

Si j'applique la formule g_uu=g_uig_ujg^ij
en remplaçant i et j par u pour trouver g^uu je trouve
g^uu=1/g_uu=1/(1+4*u²) alors que tu dis trouver dans ton post d'avant g^uu=(1+4*v²)/(1+4*u²+4*v²)

La formule g_uu = g_uig_ujg^ij se détaille de la façon suivante (convention de sommation d'Einstein) :

g_uu = g_uug_uug^uu + g_uug_uvg^uv + g_uvg_uug^vu + g_uvg_uvg^vv