relativité générale & symboles de Christoffel

[Amanuensis]

Les maths de la relativité générale ont l'avantage (ou l'inconvénient) de mêler analyse, algèbre et géométrie

Déjà ce ne sont pas les maths "de la relativité générale", ce sont des maths tout court, appliquées à la physique (et pas seulement à la relativité générale).

Le fond est la géométrie, celle de variétés courbes, l'extension de la géométrie "usuelle", qui est celle des espaces euclidiens (celle des variétés euclidiennes), prototypes des variétés plates.

L'algèbre intervient par la linéarisation locale. L'énorme différence entre le plat et le courbe est que la linéarisation locale devient une linéarisation de toute la variété (permettant une confusion entre la variété étudiée et l'espace vectoriel de même dimension vu comme variété).

L'analyse vient du travail en coordonnées, et surtout de la présentation non géométrique de la différentielle, qui est d'abord vue (et présentée) comme la dérivation de coordonnées.

La géométrie est donc "cachée" d'une part par la linéarisation locale, qui peut faire perdre de vue la géométrie non locale, et d'autre part par l'usage trop important des coordonnées, en particulier pour la différentielle, qui peut faire perdre de vue l'idée géométrique de tangente.

Il reste une difficulté importante : la dimension. En RG faut utiliser de la géométrie en 3D et en 4D, ce qui se visualise mal (litote). Faut donc s'entraîner avec les petites dimensions pour "voir" la géométrie et ensuite transposer aux dimensions supérieures.

Le point clé que je cherche à faire passer est que la clé, c'est la géométrie ; alors qu'une majorité de textes (et d'intervenants) font de l'analyse, des formules soit à base de coordonnées, soit faisant penser à des coordonnées.

L'écriture à la Ricci, avec des indices haut et bas, amène le plus souvent une interprétation en coordonnées, alors qu'on peut l'interpréter différemment, comme parlant d'objets "multilinéaires" divisées en catégories indiquées par la position des indices. La contraction est "juste" l'application d'une fonction linéaire, l'une parmi plusieurs possibles pour un même tenseur. Bref, on peut s'abstraire de l'interprétation "en coordonnées" (analytique), et prendre une interprétation algébrique (et multilinéaire). L'interprétation géométrique est plus difficile, et passe par les notions de linéarisation, de passage à la limite en "réduisant à un point", comme la notion de tangente.
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[mach3]

Oui ça reste de la cuisine mathématique, un peu indigeste par moments, mais qui a tout de même demandé à Einstein 10 ans d'efforts !

Forcément, quand on est le premier, qu'on ne sait pas trop où on va et qu'en plus il n'y a pas internet, ben ça prend plus de temps à défricher. Heureusement, de nos jours, on peut maitriser la RG en moins de 10 ans sans être aussi intelligent qu'Einstein (avec toutes les réserves sur la quantification de l'intelligence).

Sur internet on tombe sur des trucs assez complexes quand même quand on tape "relativité générale" : fibré vectoriel, connexion de Levi-Civita, vecteurs de Killing, tenseur de Riemann...ça fait un peu peur, vu l'arsenal mathématique derrière tout ça !!

C'est vrai que c'est assez large, et que bien souvent il n'y a pas d'indication sur l'ordre dans lequel il faut attaquer les choses, qu'est ce qui est important et qu'est-ce qui est moins important, qu'est ce qui est un pré-requis à quoi, etc. Le plus dur en fait c'est de trouver les bons cours qui présentent les choses dans un ordre adapté à nous et qui commencent à niveau adapté à nous. Moi j'ai commencé par les tenseurs (espace vectoriel, espace vectoriel dual des 1-formes, produits tensoriels de ces bêtes là, contractions...), et c'était pas pour faire de la RG au départ. D'ailleurs j'avais jeté un oeil à Gravitation à l'époque et je n'étais pas prêt (c'est un sacré pavé, c'est intimidant, surtout quand on croit, à tord, qu'on n'est pas capable). Plus tard, mes connaissances (partielles) sur les tenseurs ayant muries, j'ai osé regardé le cours d'intro à la RG de Richard Taillet, et j'ai réussi à pas trop mal suivre, et du coup, enhardi, j'ai de nouveau tenter de lire Gravitation, et là c'était devenu lisible et très instructif.

Bref, revenons sur le sujet :

En math sup on apprend que et c'est en lien avec la dérivée covariante ou pas du tout ?

L'expression laisse croire qu'on prend la différentielle d'un vecteur (), alors que ce n'est pas cela qui est fait (une différentielle d'un vecteur comme ça c'est pouah!). En fait ce sont les différentielles des coordonnées du vecteur dans une base cartésienne, écrite d'une manière condensée. On devrait écrire, pour que ce soit plus propre :
et
et
et
(avec "." le produit scalaire du plan euclidien)
Ou encore, si on note et :
et
et
et
(et les expressions des L en termes de cosinus ou sinus de theta montrent immédiatement que c'est évident)

Des relations entre des champs scalaires et des gradients de champs scalaires donc. Mais on peut prendre les choses dans un autre sens et chercher à faire une "sorte" de différentielle pour un vecteur.

Il y a quelques truc à aménager avant. D'abord se familiariser avec la notion de dérivée directionnelle et comprendre que l'opérateur de dérivée directionnelle est isomorphe à un vecteur. Imaginons une courbe paramétrée, de paramètre , le long de laquelle on veut connaitre la variation d'une fonction f. On aura :

, x et y étant des coordonnées quelconques, pas forcément les cartésiennes
(ça normalement, ça passe bien)

Mais on peut voir ça du coté opérateur : pour n'importe quelle fonction f, on aura cette expression, donc on peut supprimer f et écrire :



L'opérateur , est une combinaison linéaire des opérateurs de dérivée partielle et

Si on imagine toutes les courbes paramétrées possibles qui passent en un point, cela donne une infinité d'opérateurs comme qu'on peut appliquer à n'importe quelle fonction continue en ce point.

Pour un bref moment, linéarisons tout pour faire "apparaitre" des choses. On va considérer non pas une infinité de courbes paramétrées, mais une infinité de droites de paramètres affines (les graduations du paramètre sont régulièrement espacées) et que les fonctions qu'on dérive sont des fonctions affines.
sera simplement , c'est à dire comment varie f le long d'un segment de droite de direction et de longueur définies. Ou encore... comment varie f le long d'un vecteur! En effet si on prend tous les segments allant de la valeur 0 à la valeur 1 du paramètre de toutes les droites de paramètre affine possibles passant au point considéré, on a ni plus ni moins qu'un espace vectoriel !
Les coordonnées x et y ne sont d'ailleurs qu'un cas particulier de paramètre affine des droites de y constant et x constant respectivement :
par exemple est le changement de f entre x=0 et x=1 en maintenant y constant, le changement de f le long du vecteur .
Et du coup, la dérivée dans la direction d'un vecteur u, combinaison linéaire des vecteurs et , sera la combinaison linéaire des dérivées partielles suivant x et y, avec les mêmes coefficients. L'opérateur de dérivée directionnelle suivant le vecteur pourra se noter

(avec et des notations raccourcies pour et )

On a isomorphisme entre les opérateurs de dérivée directionnelles (c'est comme cela qu'on les appelle) et les vecteurs, isomorphisme tel qu'on va littéralement les confondre dans le cas de variétés planes comme le plan euclidien. Néanmoins cette façon de définir les vecteurs comme opérateurs de dérivée directionnelle sera la seule qui restera pour les variétés quelconques.

On peut maintenant "enlever" la linéarisation (comme on démonterait un échafaudage), tout cela reste valable : les opérateurs de dérivée directionnelles forment un espace vectoriel (le seul disponible dans le cas général).

Bon, maintenant qu'on a la dérivée directionnelle et qu'on a vu que c'était un vecteur, on va pouvoir aller un cran plus loin, mais ce sera au prochain épisode, parce qu'il faut que je bosse quand même.

m@ch3

[benjgru]

Merci à tous les 2 pour vos explications !

@Mach3 : c'est quoi ton ? une coordonnée ?

Tes équations avec le paramètre et la variable me rappellent beaucoup la dérivée lagrangienne en mécanique des fluides avec le terme non linéaire est-ce normal ? y a-t-il une analogie ?

[Amanuensis]

@Mach3 : c'est quoi ton ? une coordonnée ?

Non, l'écriture est celle d'un tenseur (1,1) (une application linéaire!). C'est simplement la matrice des coordonnées de la base polaire dans la base cartésienne. C'est la matrice de changement de coordonnées pour les vecteurs. C'est la matrice des dérivées partielles. C'est la jacobienne, je l'aurais notée J.

[benjgru]

Ok merci !
Et pour mon autre question stp ?

[mach3]

@Mach3 : c'est quoi ton ? une coordonnée ?

et sont les coordonnées de dans la base . De même et sont les coordonnées de dans cette même base. De ce point de vue ce ne sont que des scalaires.

On peut voir la matrice formé par ces L comme la matrice de passage à appliquer sur les coordonnées d'un vecteur exprimées par rapport à la base pour obtenir ses coordonnées exprimées par rapport à la base (transformation passive).

On peut aussi voir ces L comme les composantes par rapport à la base d'un tenseur (1,1) qui mappe vers et vers et donc qui mappe un vecteur u dont les coordonnées par rapport à la base sont (a,b) vers un vecteur v dont les coordonnées par rapport à la base sont (a,b) (transformation active). Note : merci de me dire si j'ai commis une inversion dans ce paragraphe, ce qui est fortement possible

aucune idée pour l'autre question, je n'ai fait qu'un semestre de mécanique des fluides il y a près de 20 ans et ne m'y suis jamais ré-intéressé depuis...

@amanuensis : j'ai utilisé L car c'est l'usage dans mes lectures habituelles (Gravitation), mais il s'agit bien de la matrice Jacobienne, souvent notée J dans les ouvrages

m@ch3

[Amanuensis]

Un problème (usuel) dans ces notations est de noter un vecteur alors que cela pourrait être la composante r d'un vecteur e.

D'où coup on a un problème d'indice haut ou bas pour les contractions.

Pour le calcul des coordonnées (r, theta) à partir des coordonnées en (x, y) (transformation passive), la jacobienne devrait s'écrire avec les indices bas en (x, y) et les haut en (r, theta), de manière à avoir (p parcourt (r, theta) et a parcourt (x, y). Ou mieux (plus de prime, la lettre V indique un unique objet).

Cela rend difficile de savoir s'il y a inversion...

[benjgru]

Oui les jacobiens, les hessiens, c'est bon je connais. Par contre la contraction des indices ouh là, faut que je m'y mette sérieusement pour capter quelque chose...!

Qu'est-ce que vous entendez par mapper ? mapper = paver ?

[Amanuensis]

PS : dans mes écrits, je m'efforce de ne jamais employer les vecteurs de base ; c'est possible en ne parlant que des coordonnées "en soi", et ce sont les coordonnées de position. Les coordonnées de vecteurs sont alors écrites comme opérateurs, idéalement en covariant (dx, ...). Du coup la jacobienne tombe sous le sens : .

En RR et RG c'est rare qu'on utilise pour parler de la quadrivitesse d'un immobile en coordonnées de Minkowski!

[Amanuensis]

Qu'est-ce que vous entendez par mapper ?

Anglicisme pour "to map", ce qui signifie appliquer une fonction, avec une importante nuance de bijection ou injection. Genre "un système de coordonnées mappe les points du plan sur R²" (ou réciproquement).

[Amanuensis]

Oui les jacobiens, les hessiens, c'est bon je connais.

Alors une interprétation des Christoffell dans le cas "trivial" c'est la matrice (cubique) , noté encore (en indiciel ), le changement de coordonnées étant avec le système où la dérivée covariante est égale à la dérivée en coordonnées...

[Amanuensis]

Note:

Anglicisme pour "to map", ce qui signifie appliquer une fonction, avec une importante nuance de bijection ou injection. Genre "un système
de coordonnées mappe les points du plan sur R²" (ou réciproquement).

Pour les coordonnées c'est très approprié, puisque "to map" signifie au sens commun cartographier !

[benjgru]

OK merci .

Il y a une notion très importante qui est celle de dérivée covariante ; est-ce une dérivée en suivant la géodésique ou quelque chose du genre ? ou pas du tout ?

[invite741b54dd]

Bonjour,

Tes équations avec le paramètre et la variable me rappellent beaucoup la dérivée lagrangienne en mécanique des fluides avec le terme non linéaire est-ce normal ? y a-t-il une analogie ?

oui, c'est parfaitement normal. La RG n'est en quelque sorte qu'un type très particulier (localement invariant de Lorentz mais pas seulement) de mécanique des milieux continus. Pour réduire les difficultés d'interprétation physique tout en apprenant à manipuler les outils mathématiques de base, vous pouvez parfaitement commencer par vous plonger dans des cours sur ce sujet plutôt que dans des choses relativistes. Vous aurez des indices ne prenant que 3 valeurs au lieu de 4, et le groupe de Lorentz sera remplacé par celui des rotations, mais tout le reste sera équivalent.

[benjgru]

La RG n'est en quelque sorte qu'un type très particulier (localement invariant de Lorentz mais pas seulement) de mécanique des milieux continus..

Merci pour cette phrase éclairante !! j'ignorais totalement cela , cela modifie complètement ma façon de voir les choses !!

Du coup la dérivée covariante ressemble à la dérivée particulaire lagrangienne, je comprends mieux maintenant...

[Amanuensis]

Il y a une notion très importante qui est celle de dérivée covariante ; est-ce une dérivée en suivant la géodésique ou quelque chose du genre ? ou pas du tout ?

Non, c'est juste une dérivée "intrinsèque", dont le résultat est "géométrique", indépendant de tout choix de coordonnées, mais qui peut s'exprimer dans tout système de coordonnées. C'est surtout une négation d'une dérivée définie de la même manière formelle dans chaque système de coordonnées (comme la dérivée coordonnée par coordonnée). Pour les maths, une "dérivée covariante" est plutôt l'idée normale, car un vecteur est intrinsèque. C'est plutôt la physique qui raffole d'objets relatifs, non covariants ! Ça, c'est le point de vue local.

Pour comprendre l'idée forte derrière la dérivée covariante (l'idée de connexion affine) en non local, il faut comprendre qu'en géométrie courbe, chaque point a un espace de vecteurs tangents qui lui est spécifique (on ne peut pas les "confondre" comme en plat). Donc, pour dériver une fonction vectorielle le long d'une ligne, faut "connecter" les espaces tangents "successifs" le long de la ligne, et le faire de manière covariante (ce que ne fait pas les connecter bêtement par égalité de coordonnées de vecteurs obtenues à partir de coordonnées de position).

Mapper un espace tangent en un point de la ligne avec l'espace tangent d'un autre point de la ligne (faire correspondre bijectivement les vecteurs de l'un avec les vecteurs de l'autre) , c'est le transport parallèle (et ce mapping dépend du chemin). La dérivée covariante "le long de la ligne" est la version infinitésimale d'un transport parallèle.

(Une géodésique est alors une ligne qui "transporte parallèlement" son vecteur vitesse ; et (pareil) telle que la dérivée covariante de la fonction qui a chaque point de la ligne associe la vitesse est nulle.)

[benjgru]

Non c'est l'équation des géodésiques qui ressemble à la dérivée lagrangienne particulaire plutôt...

[benjgru]

@Mach3 : je reprends tes notations et ton expression :




donc c'est bien cela ?

Par analogie

Puis

Enfin

se comprend facilement intuitivement (les autres moins !)


Est-ce juste ? Si oui mon poly est bel et bien faux

[Amanuensis]

Cela fait très bizarre d'utiliser la notation indicielle pour les Chr. avec des r et theta, dans des multiplications sans sommation implicite, alors qu'en notation de Ricci dans des multiplications les indices sont normalement muets sans signification particulière, et que la convention de sommations'applique.

Travailler trop longtemps avec ce genre de notation ne peut qu'amener des confusions importantes pour comprendre la notation à la Ricci.

Tant mieux pour vous si cela vous fait sens "naturellement", mais perso j'évite de regarder, pour ne pas être "pollué" par une telle source de confusion.

(Cela ne pose pas de problème quand l'indexation des composantes permet des les distinguer entre elles, en dehors de formules...)

[Amanuensis]

Ou encore, pour moi une écriture correcte est dans le cas considéré


pour deux vecteurs u et v.

Ce qui se développe avec par exemple




(Cela n'est pas totalement canonique, il faut accepter que n'est pas l'auto-contraction...)




Qu'on pourrait à la rigueur écrire


en notant les coordonnées de u, et les coordonnées de v

[benjgru]

@Amanuensis : Vous n'avez pas l'air convaincu ... c'est votre droit !
C'est à dire que j'utilise la notation de Mach3, je ne sais pas si c'est juste, mais vu qu'il s'y connaît plus que moi...

[Amanuensis]

@Amanuensis : Vous n'avez pas l'air convaincu ...

??? Ce n'est pas une question ce conviction de ma part, ni même d'opinion: je mets en avant de côté bordélique de la notation. C'est factuel.

C'est à dire que j'utilise la notation de Mach3, je ne sais pas si c'est juste

Une notation peut donner des formules "justes", tout en étant bordélique.

Par contre, si vous êtes convaincu que cette "notation de Mach3" (sic) va vous aider à comprendre les formules tensorielles, c'est certes "votre droit", mais vous vous gourrez sérieusement !

[benjgru]

Entendu, mais c'est à Mach 3 qu'il aurait fallu dire cela...!
Er puis le côté "bordélique" ne me dérange pas trop...si c'est trop rigoureux ou abstrait je n'y comprends rien alors...tant pis

[Amanuensis]

Entendu, mais c'est à Mach 3 qu'il aurait fallu dire cela...!

C'est un forum public, les commentaires s'adressent à tout le monde, par défaut.

Er puis le côté "bordélique" ne me dérange pas trop...

Tant mieux.

Maintenant il me semblait que votre but était de comprendre. Soit cela ne vous dérange pas d'être contrarié dans votre chemin vers la compréhension, soit vous exprimez être capable de faire la part des choses, de jongler avec différentes notations contradictoires. Félicitations si c'est le second cas.

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Pourquoi cette réaction ? (Plutôt que réfléchir sur le fond, sur le point soulevé ? Et donc de discuter du fond, et pas de la forme ou des gens.) Cela vous gêne qu'on critique quelqu'un que vous considérez comme une "autorité" pour des raisons qui sont les vôtres?

[benjgru]

@Amanuensis :

Euh...cette discussion nous emmène un peu (trop ? ) loin là...faut que je réfléchisse 5 ' à ce que je vais répondre sinon vous allez encore me tomber dessus !

Je crois en fait que c'est un sujet un peu trop difficile pour moi...j'avoue que c'est trop compliqué pour mon humble cerveau, il faut être réaliste dans la vie ! Merci quand même d'avoir essayé de m'expliquer cela dit...

PS: pourquoi ce pseudo étonnant au fait ?

[Amanuensis]

PS: pourquoi ce pseudo étonnant au fait ?

En quoi étonnant ? Il évoque exactement l'idée que je désire. (C'est mon troisième pseudo sur ce forum, il n'a pas été choisi sur un coup de tête.)

[Amanuensis]

Je ne pense pas que le sujet soit si difficile. Faut juste l'examiner, et en cherchant à enlever toute une "gangue" de formulations, de conventions, de manières de voir dépendant des auteurs, ... Cela prend du temps, bien d'accord. Mais la discussion donne pas mal de clés pour aider la réflexion, pour l'accélérer. Un peu.

[benjgru]

En quoi étonnant ? Il évoque exactement l'idée que je désire. (C'est mon troisième pseudo sur ce forum, il n'a pas été choisi sur un coup de tête.)

Ah bon vous êtes scribe ? ou copiste ...

[benjgru]

Je ne pense pas que le sujet soit si difficile.

Euh...ça dépend pour qui...pour l'homme de la rue ?

[Amanuensis]

Ah bon vous êtes scribe ? ou copiste ...

Exactement. Un humble amateur sans diplôme élevé, se contentant de retranscrire ce que les professionnels de la physique (ou d'autres matières) écrivent, en les adaptant à un lectorat (par exemple quand il s'agit de répondre à une personne posant une question).

(Disons une adaptation de l'idée médiévale, prenant en compte la petite évolution des moyens de communication qui a eu lieu entre les parchemins écrits à la main et l'époque actuelle.)