relativité générale & symboles de Christoffel

[Amanuensis]

Euh...ça dépend pour qui...pour l'homme de la rue ?

Pour toute personne que cela intéresse vraiment, et prête à consacrer le temps qu'il faut sur le sujet, sur la base de textes de professionnels, et ouverte d'esprit.
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[benjgru]

Je vois. Un passeur de sciences, on pourrait dire aussi...

Pour en revenir aux symboles de Christoffel, j'ai sans doute mal digéré ce que j'ai lu, mais tout de même la page Wikipedia semble cautionner les écrits de Mach 3 : https://fr.wikipedia.org/wiki/Symboles_de_Christoffel au paragraphe "Définition" cela ressemble beaucoup à cequ'on a écrit plus haut..

Alors je sais que sur internet on trouve beaucuop de bêtises, il faut faire le tri (comment ?) mais Wikipedia tout de même...mais c'est un autre débat !

[invitec21fa021]

Wikipédia est une source que l'on peut consulter, surtout le wiki anglais:
https://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols
qui à mon goût est généralement bien mieux fait que le français, mais oui c'est un autre débat ( et toujours consulter l'onglet "Talk").
Pour le fond, vous semblez vous accrocher à des notations "qui vous parle", rendez vous bien compte que si elles ne sont pas usuelles, cela ne pourra que vous poser problème par la suite, et que le retour en arrière pourra être pénible.
Je ne saurais que trop vous conseiller de diversifier vos sources (cours), et la sélections des notations se fera "naturellement".

[Amanuensis]

Pour en revenir aux symboles de Christoffel, j'ai sans doute mal digéré ce que j'ai lu, mais tout de même la page Wikipedia semble cautionner les écrits de Mach 3

Je ne comprends pas "cautionner". Je ne soulève pas de problèmes sur le fond (comme on peut le faire sur le doc cité au début), je ne faisais que commenter ce que je considère comme des abus de notation, et qui donc, àmha, ne peuvent que contrarier l'apprentissage et la compréhension de la notation.

: https://fr.wikipedia.org/wiki/Symboles_de_Christoffel au paragraphe "Définition" cela ressemble beaucoup à cequ'on a écrit plus haut..

L'abus de notation en question (comment référer à une base vectorielle) est très commun. Qu'on le trouve (je n'ai pas vérifié) dans le Wiki, surtout en français, n'a ou n'aurait rien d'étonnant.

Ma réaction est spécifique à ce fil, où la question porte sur la compréhension des Christoffel, et spécifiquement présentés en notation tensorielle (et pas en fonction des dérivées partielles par exemple). La maîtrise de la notation tensorielle (à la Ricci) est critique, mais en présentant une base comme (e_x, e_y) on ne respecte pas la notation. On doit pouvoir admettre que c'est paradoxal, non?

Une écriture respectant la notation pourrait être , avec par exemple , pour v un vecteur. On comprend à la vue de ces (lourdes) écritures l'attraction de condenser la somme en mélangeant '"illégalement" indexation des éléments de la base et indexation de coordonnées, et de profiter alors de ce que, en général, . Notons aussi que l'écriture ne présente pas les vecteurs de base, mais les formes associées (ce dont parle Mach3 dans un des messages), puisque l'indice est mis en bas. Ce qui ne pose aucun problème avec une base orthonormale cartésienne en euclidien. (Mais en pose dès qu'on sort de ce cadre, ne serait-ce qu'en prenant des coordonnées non cartésiennes comme (r, theta).)

Alors je sais que sur internet on trouve beaucuop de bêtises

Dans le cas d'espèce, ce ne sont pas des "bêtises", simplement une double couche de conventions d'écriture, une formelle, "normalisée" (l'écriture tensorielle à la Ricci), l'autre d'usage, laxiste, informelle, une adaptation mal digérée de la précédente. Ce qui oblige le lecteur soit à avaler les formules "tout cru", sans vraiment les analyser, soit à un exercice mental compliqué.

, il faut faire le tri (comment ?)

En appliquant son esprit critique, en posant des questions en espérant que ceux qui répondent ont exercé au moins un peu d'esprit critique.

[Amanuensis]

EDIT: J'ai fait pas mal de corrections du message précédent, parce que les "lourdes écritures" sont difficiles à écrire du premier coup, comme quoi c'est un problème tordu ! (D'où la réflexion faite bien plus tôt, de contourner la difficulté en limitant les références aux vecteurs de la base vectorielle du tangent.)

[Amanuensis]

PS: l'art du copiste peut l'amener à ne pas copier verbatim (copier/coller en parler moderne), mais à adapter tout en respectant le sens...

[benjgru]

J'en prends bonne note !

: s'agit-il d'un produit scalaire de vecteurs d'une base orthonormale ? si non , ça y ressemble...

[Amanuensis]

: s'agit-il d'un produit scalaire de vecteurs d'une base orthonormale ? si non , ça y ressemble...

Oui et non. L'écriture indique juste que les coordonnées de (en tant que forme linéaire) sont nulles sauf pour celle d'indice i.

La relation avec le produit peut se voir avec le "produit naturel" , puisque l'opérateur donne la coordonnée i quand appliqué à un vecteur

Pour le produit scalaire, c'est en toute généralité, (attention, c'est le produit scalaire sur les formes. Celles-ci sont notées ci-dessous avec un tilde quand pas indicées, tilde omis quand l'indice permet de distinguer), et donc, dans le cas orthonormal parce que , et comme alors , on a aussi pour les vecteurs de la base . Tout cela en prenant en compte que (descente d'indice par la métrique, ou plus fondamentalement, la métrique sert d'isométrie par défaut entre l'espace vectoriel et son dual).

J'espère ne pas m'être gouré! Comprendre cela (ce que cela transcrit est élémentaire) sera un bon exercice sur les notations !

[benjgru]

En effet être au clair avec les notations, c'est déjà avoir compris 50 % de la théorie !
Est-ce que dans un repère type Frenet on peut faire apparaître les symboles de Christoffel ? puisque c'est un repère mobile ? En fait cela revient aux coordonnées polaires il me semble...

[Amanuensis]

Si on prend la "connexion triviale" pour un espace euclidien, c'est à dire celle dont la dérivée covariante s'exprime comme (d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt²) dans un repère cartésien on va trouver des coefficients de Christofell non nuls dans tout repère non cartésien: suffit d'exprimer la dérivée ci-dessus en fonction des nouvelles coordonnées.

Cela s'applique au référentiel de Frenet comme à n'importe quel autre (d'où l'application aux milieux continus, qui n'est pas, à mon avis, si directement comparable à la RG). Il y a une différence avec les coordonnées polaires : l'origine se déplace.

(Au passage, référentiel = repère mobile. La distinction faite par l'usage est intéressante à analyser !.)

[benjgru]

Euh pardon quelle dérivée ci-dessus ??

[invitec21fa021]

La dérivée covariante.
Les coefficients de correction apparaissent de la même manière en euclidien en utilisant des coordonnées curvilignes, on prend la différentielle d'un champ de vecteur dont il est nécessaire de faire une correction par rapport à la simple dérivation des coordonnées, correction exprimée par les symboles de Christofell.

Une manière "avec les mains" de le dire est que si on exprime un champ de vecteurs, il y aura deux termes, le premier terme représentant la dérivation des coordonnées, et le deuxième la "dérivation" des vecteurs de base. C'est ce deuxième terme qui sera exprimé avec les coefficients de Christofell.

Vous trouverez les détails ici:
http://mathematique.coursgratuits.ne...hristoffel.php

[Amanuensis]

Euh pardon quelle dérivée ci-dessus ??

Si on prend la "connexion triviale" pour un espace euclidien, c'est à dire celle dont la dérivée covariante s'exprime comme (d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt²) dans un repère cartésien on va trouver des coefficients de Christofell non nuls dans tout repère non cartésien: suffit d'exprimer la dérivée ci-dessus en utilisant les nouvelles coordonnées.

Suffit de comparer avec ce qui a été écrit sur les coordonnées polaires.

[Amanuensis]

Si (...)

Très mal écrit (j'avais directement pris la dérivée de la vitesse.). Je réessaye

Si on prend la "connexion triviale" pour un espace euclidien, c'est à dire celle dont la dérivée covariante d'un vecteur le long d'une ligne paramétrée par t s'exprime comme (dv_x/dt, dv_y/dt, dv_z/dt) dans un repère cartésien on va trouver des coefficients de Christofell non nuls dans tout repère non cartésien: suffit d'exprimer la cette dérivée en utilisant les nouvelles coordonnées.

(Autrement dit, dans un repère cartésien les coefficients de Christoffel sont tous nuls.)

Suffit de comparer avec ce qui a été écrit sur les coordonnées polaires.

[benjgru]

@EtudiantPhys: votre lien ne marche pas svp ?

[benjgru]

Ah non pardon saturation de la bande passante le dimanche soir

[benjgru]

J'ai bien lu et à peu près compris le cours sur l'obtention de la dérivée covariante. Cela me rappelle étrangement la loi fondamentale de l'optique géométrique obtenue à partir du principe de Fermat...