polynomes et matrices

[inespaiva]

Soit M ∈ Mat n×n(K) une matrice. Si f(X) = ∑_(i=0)^d (aiXi) ∈ K[X] est un polynôme, alors nous posons f(M) := ∑_(i=0)^d (aiMi) ∈ Matn×n(K). Noter : M^0 = idn.
Démontrer que l’application « évaluation » :evM : K[X] → Matn×n(K), f(X) → f(M)
est un homomorphisme d’anneaux, c’est-à-dire, montrer les assertions suivantes pour tout f, g ∈ K[X] :
(1) evM(1) = idn,
(2) evM(f + g) = evM (f) + evM(g)
(3) evM(f · g) = evM (f) · evM(g)

Bonjour quelqu'un pourrait m'aider avec ceci, je ne suis pas sûre comment le démontrer.
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[gg0]

Le 1 se fait directement. Pour les deux autres, tu peux calculer séparément les deux membres et voir que ça donne le même résultat.

Cordialement.

[gg0]

Pour éclairer l'énoncé, si P(X)=2+X+3X², alors evM(P) = 2.id_n+M+3.M².