matrice avec un déterminant non nul

[Abdellah7]

bonjour
pourquoi une matrice qui a chacune des colonnes entre elles sont deux-à-deux linéairement indépendantes , sont déterminant n'est pas nul ?
merci d'avance
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[MissJenny]

tu es sûr de ça?

[ThM55]

Bonjour. Il me semble que c'est vrai.

Si les colonnes d'une matrice carrée A, nxn, sont linéairement indépendantes, elles forment un système complet de vecteurs dans R^n.
Autrement dit tout vecteur de R^n peut s'exprimer comme une combinaison linéaire de ces colonnes.

Il est donc possible de trouver une combinaison linéaire des colonnes 2 à n qui, ajoutée à la colonne 1, la transforme en un multiple du vecteur colonne (1,0,...0), disons (a_1, 0, 0,....,0), où a_1 est non nul (si a_1 était nul, on aurait prouvé la dépendance linéaire des n vecteurs, ce qui est contraire à l'hypothèse). C'est une conséquence directe du caractère complet des n vecteurs linéairement indépendants.

En faisant cette opération, comme on le sait, on ne change pas la valeur du déterminant.

On peut répéter cela avec les colonnes 1, 3,...,n pour changer la colonne 2 en (0,a_2,0,...0). Et ainsi de suite: cela revient à diagonaliser la matrice A avec comme diagonale les nombres a_1, a_2,...,a_n, qui sont tous non nuls. Le déterminant est leur produit, qui est donc non nul.

[MissJenny]

Mais Abdellah a écrit "deux à deux".

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Oui, tu as raison, je n'y avais pas prêté attention. En effet, si deux vecteurs v et w sont indépendants, la famille (v, w, v+w) n'est pas une famille libre et pourtant les trois paires (v,w), (v,v+w) et (w,v+w) sont indépendantes. Donc c'est faux en général (cet exemple permet de construire un contre-exemple pour une matrice 3x3).