L'ésistence de deux fermés dans E

[The Hunter]

Bonjour à tous.

Soit E un espace vectoriel normé. Soient F et G deux fermés non vides et disjoints de E. Montrer qu'il existe deux ouverts U et V tels que: F est inclut dans U, G dans V avec U et V sont disjoints.

En travaillant des exemples, je comprends vraiment comment les deux ouverts doivent être. Considérons les deux fermés dans R: [1, 2] et [3, 4]. U et V existent facilement et ils sont, par exemple, pour tout epsilon strictement positif et inférieur ou égale à 1: U = ] 1, 2 + epsilon [ et V = ] 3, 4 [. Je sait ce j'ai besoin avoir mais j'ai aucune idée comment.

Pouvez-vous me donner des idées?

Merci d'avance.
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[GBZM]

Bonjour,
Je te conseille d'utiliser la distance à F et la distance à G. La distance de x à F est une fonction continue de x qui est nulle si et seulement si x appartient à F ; idem pour G, mutatis mutandi.

[The Hunter]

Bonjour GBZM et merci pour votre proposition.

La distance de x à F est une fonction continue de x qui est nulle si et seulement si x appartient à F

En fait, la question précédente (et il y en a deux dans cet exercice) demande de montrer cet équivalence. J'ai trouvé une solution dans un autre exercice sur Bibmath. On a travaillé par un autre résultat du fait que A et B sont disjointes. C'est bon mais je suis un idiot quand on parle des fonctions (j'ai pas compris le truc de l'application réciproque).

[Archi3]

Bonjour à tous.

Soit E un espace vectoriel normé. Soient F et G deux fermés non vides et disjoints de E. Montrer qu'il existe deux ouverts U et V tels que: F est inclut dans U, G dans V avec U et V sont disjoints.

En travaillant des exemples, je comprends vraiment comment les deux ouverts doivent être. Considérons les deux fermés dans R: [1, 2] et [3, 4]. U et V existent facilement et ils sont, par exemple, pour tout epsilon strictement positif et inférieur ou égale à 1: U = ] 1, 2 + epsilon [ et V = ] 3, 4 [. Je sait ce j'ai besoin avoir mais j'ai aucune idée comment.

Pouvez-vous me donner des idées?

Merci d'avance.

trois remarques : d'abord tes exemples ne marchent pas , à part 2, les bornes (1, 3 ou 4) appartiennent aux fermés mais pas aux ouverts, donc les fermés ne sont pas inclus dans les ouverts

ensuite tu as posé la question sans dire qu'il y avait deux autres questions avant, qui manifestement étaient là pour t'aider. Il faut que tu comprennes que quand on te demande d'établir un résultat avant, il faut l'utiliser.

enfin la solution proposée marche, mais tu peux prendre aussi l'image réciproque de et : si tu regardes la définition de f, ça correspond à l'ensemble des points tels que d(x,A) < d(x,B) ou d(x,A) > d(x,B). Dans ton exemple, ce serait les intervalles et

Pour visualiser ces ensembles, tu peux tracer deux "patates" disjointes A et B, et considérer la médiatrice, la ligne des points à égale distance de A et B : les U et V sont simplement les deux parties de chaque coté de la médiatrice (en excluant la médiatrice, donc des ouverts ) . C'est tres souvent utile de faire des petits dessins pour comprendre les exercices de maths, enfin pour moi end tout cas .

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Il vaut mieux réfléchir par soi-même plutôt que de fouiller dans la toile, c'est plus formateur.
Et ici ça aurait pu te donner une solution bien plus simple que ce que tu as trouvé tout fait : on peut prendre pour U l'ensemble des x qui sont plus proches de F que de G : d(x,F)<d(x,G) et pour V l'ensemble des x qui sont plus proches de G que de F : d(x,G)<d(x,F).

[Archi3]

oui même réponse sauf que j'ai dit A et B au lieu de F et G, mes excuses

[gg0]

Attention, TheHunter : Il n'y a pas d'application réciproque. Le fait que tu lises "application" alors qu'il est écrit "image" devrait t'alerter. D'ailleurs penser "application réciproque" sans qu'il soit fait état du caractère bijectif de l'application devrait te choquer. mais comme tu le dis : "je suis un idiot quand on parle des fonctions", que je traduis par "je n'ai jamais fait l'effort de comprendre le vocabulaire des fonctions (fonction, antécédent, image, image d'une partie, image réciproque, injectif, surjectif, bijectif,...)". Tu ne crois pas qu'il serait temps de t'y mettre ? Ces notions qu'on voyait en seconde naguère (et même en sixième-cinquième vers 1970) ne présentent aucune difficulté conceptuelles. Il faut seulement les connaître. Et ici, le lien entre fonction continue et images réciproques (cours de base sur la continuité).


Cordialement.

[ThM55]

Un espace métrique est séparé (ou de Haussdorf). Cela résulte de l'inégalité triangulaire. Je crois qu'à partir de cette constatation on peut facilement construire les deux ouverts disjoints, ou je me trompe? Il y a sans doute un problème de dénombrabilité, mais ce n'est peut-être pas insurmontable...

[GBZM]

La démonstration que j'avais suggérée (utilisation des fonctions distances aux deux fermés) marche bien sûr pour n'importe quel espace métrique.
Mais ça ne va plus pour les ensembles séparés (Hausdorff) : le fait que deux fermés disjoints aient des voisinages ouverts disjoints n'est pas une conséquence de la séparation. Un espace topologique séparé qui vérifie cette propriété est appelé espace normal : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_normal
Comme dit dans cet article, la planche de Tychonoff épointée est un exemple d'espace séparé non normal.