Variable aléatoire discrète

[Matt1627]

Bonjour, je cherche à comprendre ce qu'est une variable aléatoire discrète mais dans la définition ci-dessus je n'arrive pas à cerner la différence entre un ensemble fini et un ensemble dénombrable car pour moi fini<=> dénombrable et donc une variable aléatoire discrète serait finie ce dont je ne crois pas que ce soit vrai. Pourriez-vous me détailler plus précisément comment reconnaitre une variable aléatoire discrète avec si possible un exemple ?

Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
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[gg0]

Attention, "dénombrable" ne veut pas dire fini (sinon on n'utiliserait pas un autre mot. Tu aurais pu taper le mot dans ton moteur de recherche préféré, puisqu'il est évident que le texte que tu cites utilise deux mots différents, donc que ce n'est pas la même chose.
Allez, prends-toi en main et va lire ...

Quand tu sauras ce que ça veut dire, si tu ne vois pas d'exemple, je t'en citerai.

Cordialement.

[Verdurin]

Bonsoir,
j'ajoute que la définition me semble incorrecte.
La variable aléatoire X est discrète quand son image est discrète. Ce qui n'est pas synonyme de dénombrable. Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_discret
En d'autres termes les valeurs prises par X sont « isolées ».

[pm42]

j'ajoute que la définition me semble incorrecte.
La variable aléatoire X est discrète quand son image est discrète. Ce qui n'est pas synonyme de dénombrable.

Visiblement la définition de "variable aléatoire discrète" inclut les cas où l'image est dénombrable ou finie : https://fr.wikipedia.org/wiki/Variab...toire_discrète

[A voir en vidéo sur Futura]

[Verdurin]

L'image peut-être infinie dénombrable mais elle doit être discrète. Par exemple une variable aléatoire dont l'image est l'ensemble des rationnels n'est pas discrète quoi que son image soit dénombrable.
Si je défini une loi sur les rationnels entre 0 et 1 ce qui est certainement possible, ce n'est pas une loi discrète.

[Matt1627]

Merci à vous 3 pour vos réponses, je vais essayer de me familiariser avec ces notions.

[pm42]

L'image peut-être infinie dénombrable mais elle doit être discrète. Par exemple une variable aléatoire dont l'image est l'ensemble des rationnels n'est pas discrète quoi que son image soit dénombrable.
Si je défini une loi sur les rationnels entre 0 et 1 ce qui est certainement possible, ce n'est pas une loi discrète.

Avez vous une source à l'appui de cette affirmation ? Vu que les rationnels entre 0 et 1 sont équipotent avec les entiers, où est la différence puisqu'à partir de la dite loi, on pourrait en construire une équivalente qui serait "discrète" d'après vous et vice-versa ?

Dans les 2 cours suivants, on parle notamment de variable aléatoire discrète réelle et la seule condition est que l'image soit une partie dénombrable de R donc les rationnels entre 0 et 1 seraient parfaitement acceptables :

http://math.univ-lille1.fr/~marsalle...IV_PEIP_17.pdf
https://www.bibmath.net/ressources/i...adiscrete.html

[MissJenny]

pour ce qui est des mesures discrètes sur R on impose la condition supplémentaire que le support soit sans point d'accumulation, autrement dit que la mesure d'un intervalle borné soit finie. Il me semble que cette condition est parfois imposée dans le cas d'une variable discrète réelle, mais je n'ai pas d'exemple à donner.

[pm42]

pour ce qui est des mesures discrètes sur R on impose la condition supplémentaire que le support soit sans point d'accumulation, autrement dit que la mesure d'un intervalle borné soit finie.

Là aussi, je veux bien une source. J'aurais besoin de savoir ce que tu veux dire pour la mesure ? Parce que celle d'un intervalle borné est finie quasiment par définition non ?
Et là, on parlait des rationnels dans [0, 1] dont la mesure est nulle si mes souvenirs sont exacts ?

Il me semble que cette condition est parfois imposée dans le cas d'une variable discrète réelle, mais je n'ai pas d'exemple à donner.

Elle n'est dans aucun des liens que j'ai donné ni de ceux que j'ai consulté par ailleurs. Une source ?

[GBZM]

Une définition claire de "variable aléatoire discrète" est donnée sur l'excellent site bibmath :
https://bibmath.net/ressources/index...adiscrete.html

On appelle variable aléatoire discrète une application de dans telle que est fini ou dénombrable et, pour tout , .

Pour une variable réelle, ça n'a donc rien à voir avec le fait que soit discret. Par exemple la variable aléatoire qui prend la valeur avec probabilité pour entier est une variable aléatoire discrète.

[gg0]

Wikipédia (article variable aléatoire) dit seulement "Lorsque l'image est finie ou infini dénombrable, cette variable aléatoire est alors appelée une variable aléatoire discrète". Vu le travail de contrôle sur les affirmations mathématiques qui y est fait, on peut considérer que c'est suffisant. Une variable aléatoire finie (au sens du message #1) est donc discrète.

Cordialement.

NB : On est loin de la question du message #1.

[GBZM]

À noter la chose importante : la loi de la variable aléatoire discrète est entièrement déterminée par la probabilité des évènements {X=x}.

[MissJenny]

Parce que celle d'un intervalle borné est finie quasiment par définition non ?

non, pas forcément. C'est vrai pour une mesure de probabilité toutefois.

[GBZM]

gg0,il vaut mieux donner la citation complète :

Lorsque l'image est finie ou infini dénombrable, cette variable aléatoire est alors appelée une variable aléatoire discrète, et sa distribution peut être décrite par une fonction de masse de probabilité qui assigne une probabilité de chaque valeur à l'image de X.

Si la variable aléatoire est réelle (avec la tribu des boréliens sur les réels), alors la deuxième partie de la phrase de wikipedia est conséquence de la première. Pas en général, et la définition de bibmath est beaucoup plus claire de ce point de vue.

[MissJenny]

Si on considère deux variables aléatoires X et Y indépendantes et qui suivent une loi de Poisson, en conditionnant par Y>0 la variable Z = X/Y peut prendre toutes les valeurs sur Q+ . Je me demande si la loi de Z a été étudiée.