Equation repère affine

[joq35]

Bonsoir à tous,

J'aurais besoin d'aide sur un exo. J'ai un plan affine E sur un corps de base k, muni d'un repère affine (A,B,C).
Montrer que ax + by + cz = 0 est l'équation en coordonnées affines d'une droite affine si et seulement si (a,b,c) différent de (k,k,k).

J'ai fait une démonstration, mais j'ai comme un gros doute.
Pour montrer que si ax + by+cz = 0 est l'équation d'une droite affine en coordonnées affines, alors (a,b,c) différent de (k,k,k), j'ai fait une démonstration par contraposée.
J'ai supposé que (a,b,c) = (k,k,k) et en supposant k différent de 0, on a l'équation x + y + z = 0. On conclut en disant qu'il n'y a pas de points en coordonnées affines qui vérifient cette équation.

Pour l'autre sens, je ne suis pas sûr de ce que j'ai fait.
Soit un point M de coordonnées barycentriques (x,y,z). Alors ses coordonnées dans le repère cartésien (A, AB, AC) est (y,z).
Par définition des coordonnées barycentriques, x+y+z = 1. Donc x = 1 - y - z.
Du coup, notre équation devient : a(1 - y - z) + by + cz= 0
Ou encore : (b-a) y + z (c-a) + a = 0 (1)
Si (b-a) et (c-a) non tous nuls, j'ai donc trouvé l'équation d'une droite cartésienne.
Donc si (a,b,c) différent de (k,k,k), l'équation (1) est bien l'équation d'une droite dans un plan cartésien.
Mais puis-je conclure que c'est vrai pour un plan affine ?
Merci pour votre aide, j'ai l'impression de tourner un peu en rond et d'être mal parti dans cette seconde partie de la démonstration.

Franck
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[GBZM]

Bonjour,

Tu sembles faire une confusion entre "coordonnées affines" et "coordonnées barycentriques".

[joq35]

Bonjour,

Pour moi, c’est la même chose, ce n’est donc pas le cas ?

[GBZM]

Non. Les coordonnées barycentriques sont les coordonnées barycentriques, point barre.
Je me demande d'où tu sors ce terme "coordonnées affines" ?
Comme tu l'as écrit, sont les coordonnées cartésiennes de dans le repère si et seulement si sont les coordonnées barycentriques (normalisées) de dans le repère . Comme équivaut à , est l'équation en coordonnées barycentriques d'une droite affine si et seulement si et ne sont pas tous les deux nuls, autrement dit si et seulement si ne sont pas égaux tous les trois.
De fait, est l'équation de la droite à l'infini du plan, mais là on rentre dans la géométrie projective

[A voir en vidéo sur Futura]

[joq35]

Ok merci. Cela vient d'un prof, je ne l'ai pas inventé. C'est noté, merci.