Relier la géométrie non euclidienne aux vecteurs ?

[Karamaov]

Bonjour,
Je suis en terminale générale, mais dans le cadre de mon grand oral je souhaite présenter une notion du supérieur, la géométrie non euclidienne et tout le questionnement sur la vérité et les axiomes qui suit.

Convaincu que le sujet se prête à un oral, il faudrait néanmoins le relier aux notions de terminale. Je sollicite donc votre aide pour me dire sur quel point, sans que cela fasse trop artificiel, il est possible de mobiliser le programme de géométrie de terminale qui traite de :
Droites (représentations paramétriques), plan (équation cartésienne), vecteurs et orthogonalité, base de l'espace vectoriel, positions relatives de droites/plans...

Merci !
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[mach3]

Dans les géométries non euclidiennes, les vecteurs sont confinés dans les "tangents". Pour faire une image avec un plongement, si la variété est une sphère, les vecteurs n'appartiennent pas à la sphère mais aux plans tangents à la sphère, et cela pose tout un tas de difficultés qui n'existent pas en géométrie euclidienne (où la variété et les tangents à la variété peuvent être confondus à quelques nuances près, au point qu'on peut ne pas faire la différence entre un vecteur et un bipoint), comme par exemple la comparaison de deux vecteurs qui ne sont pas au même point de la variété (donc qui sont techniquement des éléments d'espaces vectoriels différents) : en géométrie euclidienne, on effectue une simple translation d'un des vecteurs jusqu'au point où se situe l'autre vecteur, alors qu'en géométrie non euclidienne, on doit effectuer un transport parallèle (généralisation de la translation) qui dépend du chemin suivi.

La notion de vecteur doit par ailleurs être redéfinie : on ne peut pas, comme en géométrie euclidienne, partir de l'équipollence des bipoints. On défini alors les vecteurs à travers la notion de dérivée directionnelle (cette définition appliquée en géométrie euclidienne redonne bien les vecteurs que l'on y définissait avec des bipoints).

Je ne sais pas dans quelle mesure cela peut entrer dans un grand oral de terminale, mais cela vous donne déjà des directions où chercher.

m@ch3

[Karamaov]

Merci pour la réponse détaillée !
J'ai donc compris que les vecteurs en espace non euclidien ne pouvait être directement comparés et devait être considérés dans des espaces vectoriels qui leurs sont propres et différents selon les points.

Ne peut on pas alors dire qu'à l'échelle locale on retourne à un espace euclidien ? Si on prend une sphère, plus la surface considéré est petite et se rapproche d'un point, peut-on dire que la géométrie non euclidienne tend à devenir euclidienne, notamment dans l'études des vecteurs ? Ce serait en ce cas une piste à creuser.

En tout cas, l'oral pourrait prendre une direction du genre : En quoi la considération d'espace non euclidien appelle une redéfinition des propriétés vectorielles ?
J'imaginer aussi une certaine liaison avec les positions relatives de droites(étudiées en terminale) car c'est ce que le postulat d'Euclide admet.

[Deedee81]

Salut,

Ne peut on pas alors dire qu'à l'échelle locale on retourne à un espace euclidien ? Si on prend une sphère, plus la surface considéré est petite et se rapproche d'un point, peut-on dire que la géométrie non euclidienne tend à devenir euclidienne, notamment dans l'études des vecteurs ? Ce serait en ce cas une piste à creuser.

Si c'est ce que mach3 a expliqué avec "l'espace tangent". C'est comme le plan tangent à une sphère en un point.

Pour les comparaisons il faut en effet effectuer un transport parallèle et on définit la connexion pour ce transport. Ce n'est pas du tout trivial.

En tout cas, l'oral pourrait prendre une direction du genre : En quoi la considération d'espace non euclidien appelle une redéfinition des propriétés vectorielles ?

Pas une redéfinition mais plutôt une adaptation à des espaces plus compliqués (les vecteurs sont des vecteurs et restent des vecteurs).

J'imaginer aussi une certaine liaison avec les positions relatives de droites(étudiées en terminale) car c'est ce que le postulat d'Euclide admet.

Tu veux parler du postulat des parallèles ? Oui, en effet, la généralisation aux espaces non euclidien est la géodésique (qu'on peut intuitivement voir comme un petite bout de droite "prolongé" par transport parallèle, un peu comme des rails sur Terre qui feraient le tour du monde en formant un grand cercle).

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Ne peut on pas alors dire qu'à l'échelle locale on retourne à un espace euclidien ? Si on prend une sphère, plus la surface considéré est petite et se rapproche d'un point, peut-on dire que la géométrie non euclidienne tend à devenir euclidienne, notamment dans l'études des vecteurs ? Ce serait en ce cas une piste à creuser.

Oui, on peut mapper le voisinage immédiat d'un point de la variété vers un espace euclidien pour faire approximativement de la géométrie euclidienne sur une surface courbe (c'est ce qui est fait implicitement sur toute carte d'une petite région de la Terre, comme les cartes IGN). Le degré d'erreur (sur les angles, les distances, les surfaces...) dépendra de la taille du voisinage et de la courbure de la variété.

J'imaginer aussi une certaine liaison avec les positions relatives de droites(étudiées en terminale) car c'est ce que le postulat d'Euclide admet.

Il faut généraliser la notion de droite, car cela n'existe plus non plus en géométrie non euclidienne. On parle de géodésique. Une géodésique est une courbe (=une suite continue de point), telle que si on prend la dérivée covariante d'un vecteur tangent à cette courbe dans la direction de ce vecteur tangent, on obtient zéro. Par application de cette définition dans le cas d'un espace euclidien, les géodésiques de ce dernier sont ses droites.
La notion de parallélisme devient alors problématique, car il s'agit de comparer des vecteurs tangents, donc de faire du transport parallèle... On peut néanmoins bricoler des choses pour parler de géodésiques voisines "localement parallèles" pour ensuite montrer que plus loin elles ne sont plus "localement parallèles" (elles s'éloignent ou s'approchent), c'est dû à la courbure. Le cadre des surfaces courbes permet de rester relativement simple (courbures principales de Gauss et trucs du genre), et ça se complique énormément si on parle d'espace courbe (on ne peut plus éviter le tenseur de Riemann).

m@ch3

[Karamaov]

Dans le type de géométrie non euclidienne que j'avais vu (probablement le plus simple), le disque ou le demi-plan de Poincaré, j'avais cru comprendre que la notion de droite était équivalente à celle de géodésique, qui se référait à la distance la plus courte entre deux points (dont la courbure va varier selon les propriétés de l'espace), et que celle de parallèlisme se référait au fait que deux droites ou géodésique n'aient aucune intersection. J'imagine que c'était une explication simplifiée pour une meilleure compréhension.

[MissJenny]

il y a aussi les géométries finies, qui ne sont pas la géométrie euclidienne mais où les vecteurs interviennent à peu près de la même façon que dans la géométrie euclidienne.

[Deedee81]

Salut,

Dans le type de géométrie non euclidienne que j'avais vu (probablement le plus simple), le disque ou le demi-plan de Poincaré, j'avais cru comprendre que la notion de droite était équivalente à celle de géodésique, qui se référait à la distance la plus courte entre deux points (dont la courbure va varier selon les propriétés de l'espace), et que celle de parallèlisme se référait au fait que deux droites ou géodésique n'aient aucune intersection. J'imagine que c'était une explication simplifiée pour une meilleure compréhension.

Pas si simplifié que ça, disons très résumé. Dans les géométries non euclidiennes traditionnelles (espaces de Riemann ou avec une métrique lorentzienne) c'est tout à fait ça. L'équivalence de la distance la plus courbe et de celle obtenue par transport parallèle est d'ailleurs une démonstration assez classique. Je connais moins les géométries disons plus exotiques (espaces projectifs, espaces ultramétriques, voir des espaces discrets que j'avais vu passer en géométrie algébrique mais de fait là on plonge en eau profonde. Pour un grand oral il vaut clairement mieux se limite aux géométries riemanniennes (*)).

Et le parallélisme garde sa signification généralisée de "pas d'intersection". Mais évidemment plus rigoureusement la notion de parallélisme devient locale : dans l'espace tangent et avec le transport parallèle.

(*) Il peut être de bon aloi de donner des points d'entrées sur le sujet. Parcours tout ça. Il faut évidemment que tu regardes bien "jusqu'où tu peux aller", un grand oral ce n'est pas non plus une présentation en 30 séances de huit heures Après ça, il restera à faire un plan de travail, potasser, développer. Y a du boulot, donc essaie de ne pas viser la Lune non plus. Le grand oral n'est pas dans un an
https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A...e_riemannienne
(il y a déjà pleins de liens et de références, mine de rien le lien est vaste)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_m%C3%A9trique
(y a pas mal de liens aussi)
https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A...on_euclidienne
(tu l'avais déjà lu celui là si tu as fait des recherches)
https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9od%C3%A9sique
(là aussi des tonnes de liens)

[Karamaov]

Merci !
Je reste sur un grand oral, je me doute qu'il ne faut pas que j'aille très loin et j'irais max aux géométries riemaniennes. Au total j'ai 15min, 5min de présentation directe où je présenterai globablement géométrie euclidienne/non euclidienne et 10min de dialogue où je développerai les aspects plus compliqués.
Les notions abordées serait :
-L'aspect intuitif des géométrie euclidienne, le postulat des parallèles, qui permettrait d'aborder une remise en question des positions relatives de droites étudiées en terminale
-Le passage à des géomètries non euclidiennes au 19et 20 eme siècle. Je pense présenter la géométrie sphérique qui est la plus compréhensible.
(-Pas certain mais je pourrais aborder le monde non euclidien de Poincare imaginé dans la Science et l'hypothèse, c'est intéressant et parallèle avec la physique contemporaine)
-Une petite introduction à la géométrie riemanienne à travers la notion de géodésiques, et le comportement des vecteurs dans cette nouvelle géométrie, leurs propriétés en tant que tangent à une surface courbe et la difficulté à les comparer avec transport parallèle
-Revenir sur la notion de vérité, d'axiome à travers l'indecidabilité du postulat des parallèles (indemontrable tout comme sa négation malgrés leurs cohérences, c'est pas l'incomplétude de Godel ?), et la place de notre expérience sensorielle dans la conception d'une géométrie (plutot là Poincaré)

[Deedee81]

Un peu ambitieux peut-être pour quelque chose d'aussi court. Mais sinon l'ensemble m'a l'air bien

P.S. Non ce n'est pas l'incomplétude de Gödel mais l'indécidabilité de Gödel : le postulat des parallèle ne peut pas être déduit des autres axiomes, ni réfuté, il est (sans l'axiome) indécidable.
Et on peut donc avoir aussi bien une géométrie avec cet axiome qu'avec sa négation. Ce qu'il a fallut du temps pour comprendre .... et admettre !
(et Gödel c'est venu bien après !)

[Médiat]

La notion de "vérité d'un axiome" n'a pas de sens, si on veut pousser le concept dans ses retranchements, on obtient une trivialité sans aucun intérêt.

[Karamaov]

C'est justement ce que mon oral aura pour but d'interroger : Est-ce qu'un type de géométrie est plus vraie que l'autre ? La réponse à développer sera que parler de vérité dans ce contexte est insensé, les géométrie sont des simples représentations plus ou moins commode. Et ça permettra de parler d'axiomatique, et notamment du fait que les mathématiques sont basés sur la construction d'inférences à partir de propositions admises et non démontrables, les axiomes, qu'est le postulat d'Euclide dans notre cas.

[Verdurin]

Bonsoir,
comme te l'as fait remarquer Médiat en mathématique un axiome est « vrai ».
Après on peut vouloir utiliser les maths pour faire des modèles utiles en pratique.
On peut par exemple donner une présentation complètement axiomatique de la mécanique classique. Je ne crois pas que l'on ait trouvé de contradiction interne : c'est une théorie cohérente et je dirais, Médiat ne seras sans doute pas d'accord, qu'elle est « vraie » mathématiquement.
Le problème est qu'elle ne décris pas bien la réalité de certains cas et qu'il y a donc des axiomes qui sont « faux » non pas mathématiquement mais physiquement.

On peut regarder un exemple beaucoup plus simple : pour les architectes et les ingénieurs du génie civil les verticales sont parallèles et donc la Terre est plate. C'est une axiomatique suffisante pour construire des immeubles ou des ponts.
Mais pas pour décrire la Terre dans son ensemble.

[Médiat]

On peut par exemple donner une présentation complètement axiomatique de la mécanique classique. Je ne crois pas que l'on ait trouvé de contradiction interne : c'est une théorie cohérente et je dirais, Médiat ne seras sans doute pas d'accord, qu'elle est « vraie » mathématiquement.

On est d'accord que la pertinence de cette théorie (et son utilité) n'est pas une question mathématique, par contre, mathématiquement, la question est : cette théorie est-elle consistante (vraie pour une théorie est un mauvais vocabulaire), ensuite peuvent venir d'autres questions, comme est-elle complète, décidable ...

[Deedee81]

Salut,

C'est justement ce que mon oral aura pour but d'interroger : Est-ce qu'un type de géométrie est plus vraie que l'autre ? La réponse à développer sera que parler de vérité dans ce contexte est insensé, les géométrie sont des simples représentations plus ou moins commode. Et ça permettra de parler d'axiomatique, et notamment du fait que les mathématiques sont basés sur la construction d'inférences à partir de propositions admises et non démontrables, les axiomes, qu'est le postulat d'Euclide dans notre cas.

Attention de ne pas trop plonger dans la philosophie (c'est un GO de math). Etant entendu aussi que je te vois mal présenter (en un temps aussi court) la théorie des modèles (c'est-à-dire les aspects sémantiques de la logique, et en particulier la notion de vérité.... qui n'est bien sûr pas celle du sens commun. Les mots "vrais, vérités, réel" sont extrêmement polysémique et ça c'est problématique quand on n'a pas le temps de préciser exactement le sens des mots employés).

Il peut par contre être intéressant d'axer l'idée de "vrai" sur celle de "réalité physique" dans la mesure où les géométries euclidiennes ont été très fécondes en physique.

[Karamaov]

C'est vrai que ça fait un peu philo mais si j'ai choisi la géométrie non euclidienne c'est pour pas trop abrutir l'autre jury qui n'est pas un scientifique. Certains partent sur des démonstrations par récurrence du binôme de newton à l'oral... Ce sujet à le mérite de faire appel à la représentation et à la logique, accessible à tous. Sinon je ne compte pas développer tous les fondements des mathématiques, juste un truc que je dis vite fait et je peux développer plus tard.

Sinon il faut que je fasse un choix; j'ai parler de géométries non euclidiennes avec des proches et je leur ai expliquer, peut-être mal, avec la géométrie sphérique et le disque de Poincaré : Étonnamment ils ont bien plus compris avec le disque le concept de géodésique et de parallèle qu'avec la sphère, qui demande peut-être une meilleure visualisation intérieure (pas facile de leur faire admettre que le chemin le plus court entre deux points était toujours le morceau d'un grand arc de cercle et qu'il n'existait pas de parallèle).
Je pense présenter les deux, la géométrie sphérique pour parler de géométrie riemanienne, de courbure, et pouvoir parler de vecteurs, et le monde de Poincaré pour intégrer le rôle de notre perception sensorielle de l'espace et basculer vers une utilisation de la géométrie non euclidienne en physique que les gens comprennent bien, la courbure de l'espace-temps par la gravitation.